Uma haste de comprimento l tem densidade linear \lambda(x)=A \cos (\pi x /(2 l)) para 0 \leq x \leq l.
(a) Calcule a massa total M.
(b) Determine a coordenada X do centro de massa.

Passo 1

O enunciado nos dá uma haste de comprimento l cuja densidade linear varia segundo
\lambda(x)=A\cos\!\Bigl(\frac{\pi x}{2l}\Bigr),
para 0\le x\le l. Precisamos calcular a massa total
M=\int_{0}^{l}\lambda(x)\,dx
e a abscissa do centro de massa
X=\frac{1}{M}\int_{0}^{l}x\,\lambda(x)\,dx.

Passo 2

Calcular M:
M=\int_{0}^{l}A\cos\!\Bigl(\frac{\pi x}{2l}\Bigr)\,dx.
Faça a troca de variável u=\frac{\pi x}{2l}, logo dx=\frac{2l}{\pi}\,du e, quando x=0, u=0; quando x=l, u=\frac{\pi}{2}. Assim
M=A\frac{2l}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos u\,du =A\frac{2l}{\pi}\Bigl[\sin u\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{2Al}{\pi}.

Passo 3

Calcular o momento \displaystyle I=\int_{0}^{l}x\,\lambda(x)\,dx:
I =A\int_{0}^{l}x\cos\!\Bigl(\frac{\pi x}{2l}\Bigr)\,dx.
Use integração por partes com
\;u=x,\;dv=\cos(\alpha x)\,dx,\;\alpha=\frac{\pi}{2l}.
Então du=dx,\;v=\frac{1}{\alpha}\sin(\alpha x) e
I =A\Bigl[x\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha}\Bigr]_{0}^{l} -A\int_{0}^{l}\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha}\,dx.
Como \alpha l=\pi/2, \sin(\alpha l)=1 e
\int_{0}^{l}\sin(\alpha x)\,dx=-\frac{1}{\alpha}[\cos(\alpha x)]_{0}^{l} =\frac{1}{\alpha}(1-\cos(\alpha l))=\frac{1}{\alpha}.
Portanto
I =\frac{A}{\alpha}\Bigl(l-\frac{1}{\alpha}\Bigr) =\frac{2Al}{\pi}\Bigl(l-\frac{2l}{\pi}\Bigr) =\frac{2Al^2}{\pi}\Bigl(1-\frac{2}{\pi}\Bigr).

Passo 4

Calcular a coordenada do centro de massa:
X=\frac{I}{M} =\frac{\displaystyle \frac{2Al^2}{\pi}\Bigl(1-\frac{2}{\pi}\Bigr)} {\displaystyle \frac{2Al}{\pi}} =l\Bigl(1-\frac{2}{\pi}\Bigr).

Resposta

(a) M=\frac{2Al}{\pi}.
(b) X = l\Bigl(1-\frac{2}{\pi}\Bigr).

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