- Dois capacitores de
em paralelo (inicialmente descarregados) são colocados em série com um resistor de 47
e uma chave. Este ramo série é ligado a uma fonte de tensão contínua de
, a chave é fechada.
Calcule: b) Em quanto tempo o capacitor equivalente atinge
da tensão da fonte;
b)
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dois capacitores idênticos:
e , ligados em paralelo e inicialmente descarregados. - Resistor:
. - Fonte contínua:
. - Em
a chave fecha e o conjunto começa a carregar. - O que pede: tempo para que a tensão do capacitor equivalente atinja
da tensão da fonte, ou seja, quando .
Passo 2
Calcular a capacitância equivalente dos capacitores em paralelo e explicar por que se somam.
- Regra: capacitores ligados em paralelo têm cargas somadas e, sob a mesma tensão, a capacitância equivalente é a soma das capacitâncias individuais.
- Raciocínio rápido: para um capacitor vale
. Se cada capacitor tem a mesma tensão , a carga total é . Logo a equivalência é
- Substituindo os valores:
Passo 3
Colocar tudo em unidades SI e calcular numericamente
.
- Converter microfarads para farads:
- Então
Passo 4
Definir a constante de tempo
do circuito
e calcular
.
- Para um circuito de carga resistivo com capacitância
e resistência , a constante de tempo é
- Converter
para ohms:
- Calcular
:
- Efetuando a multiplicação (usar potências de 10):
Passo 5
Escrever e explicar a equação temporal da tensão no capacitor durante a carga.
- Equação padrão para carga de um capacitor a partir de zero num circuito série
- :
- Explicação (passo a passo e curta derivação):
- Pela lei de Kirchhoff:
, com e . - Substituindo:
. - Rearranjando:
. - Separando e integrando:
. - Resolvendo com condição inicial
resulta em .
- Pela lei de Kirchhoff:
- Aqui
já calculado.
Passo 6
Aplicar a condição
e isolar
.
- Colocar os valores na equação:
- Isolar o exponencial:
- Tomar logaritmo natural dos dois lados:
- Logo
Passo 7
Calcular numericamente
usando
e
.
- Valor do logaritmo:
- Então
- Interpretação rápida: em cerca de
a tensão do capacitor equivalente alcança da fonte. Isso faz sentido porque (lembrar que em atinge , em atinge ).