1. Dois capacitores de 20 \mu \mathrm{~F} em paralelo (inicialmente descarregados) são colocados em série com um resistor de 47 \mathrm{k} \Omega e uma chave. Este ramo série é ligado a uma fonte de tensão contínua de 10 \mathrm{~V} . \mathrm{Em} t=0 \mathrm{~s}, a chave é fechada.
Calcule: b) Em quanto tempo o capacitor equivalente atinge 80 \% da tensão da fonte;
C=C_{e q}=C_{1}+C_{2}
b)
\begin{aligned} & t P / V_{c}(t)=80 \% \cdot V=8 \mathrm{~V}: \tau=47 \hat{K}_{1}^{\hat{1}} 40 \mu \Rightarrow \hat{\hat{1}} \Rightarrow \tau=1,88 \mathrm{~S} \\\ & \frac{V_{c}(t)}{V}=1-e^{-t / \tau} \Rightarrow \frac{8}{10}=1-e^{-t / \tau} \Rightarrow 0,8=1-e^{-t / \tau} \\\ & e^{-t / \tau}=0,2 \Rightarrow \ln \left(e^{-t / \tau}\right)=\ln (0,2) \\\ & -\frac{t}{\tau}=-1,609 \Rightarrow t=1,609 \cdot \tau=1,609 \times 1,88 \Rightarrow t \cong 3 \mathrm{~S} \end{aligned}

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dois capacitores idênticos: C_1=20\\ \mu\mathrm{F} e C_2=20\\ \mu\mathrm{F}, ligados em paralelo e inicialmente descarregados.
  • Resistor: R=47\\ \mathrm{k}\Omega.
  • Fonte contínua: V=10\\ \mathrm{V}.
  • Em t=0 a chave fecha e o conjunto começa a carregar.
  • O que pede: tempo para que a tensão do capacitor equivalente atinja 80\% da tensão da fonte, ou seja, quando V_c(t)=0{,}8\,V=8\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Calcular a capacitância equivalente dos capacitores em paralelo e explicar por que se somam.
  • Regra: capacitores ligados em paralelo têm cargas somadas e, sob a mesma tensão, a capacitância equivalente é a soma das capacitâncias individuais.
  • Raciocínio rápido: para um capacitor vale Q=C\,V. Se cada capacitor tem a mesma tensão V, a carga total é Q_{\rm tot}=Q_1+Q_2=C_1V+C_2V=(C_1+C_2)V. Logo a equivalência é
C_{\rm eq}=C_1+C_2.
  • Substituindo os valores:
C_{\rm eq}=20\\ \mu\mathrm{F}+20\\ \mu\mathrm{F}=40\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 3

Colocar tudo em unidades SI e calcular numericamente C_{\rm eq}.
  • Converter microfarads para farads:
20\\ \mu\mathrm{F}=20\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Então
C_{\rm eq}=40\\ \mu\mathrm{F}=40\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{F}.

Passo 4

Definir a constante de tempo \tau do circuito RC e calcular \tau.
  • Para um circuito de carga resistivo com capacitância C e resistência R, a constante de tempo é
\tau=R\,C.
  • Converter R para ohms:
R=47\\ \mathrm{k}\Omega=47\times10^{3}\\ \Omega.
  • Calcular \tau:
\tau=47\times10^{3}\\ \Omega \times 4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{F}.
  • Efetuando a multiplicação (usar potências de 10):
\tau=(47\times4{,}0)\times10^{3-5}\\ \mathrm{s}=188{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{s}=1{,}88\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Escrever e explicar a equação temporal da tensão no capacitor durante a carga.
  • Equação padrão para carga de um capacitor a partir de zero num circuito série R- C:
V_c(t)=V\left(1-e^{-t/\tau}\right).
  • Explicação (passo a passo e curta derivação):
    • Pela lei de Kirchhoff: V - v_R(t) - v_c(t)=0, com v_R(t)=R\,i(t) e i(t)=\dfrac{d q}{dt} = C\,\dfrac{d v_c}{dt}.
    • Substituindo: V - R C\,\dfrac{d v_c}{dt} - v_c(t)=0.
    • Rearranjando: RC\,\dfrac{d v_c}{dt}=V-v_c.
    • Separando e integrando: \displaystyle \int_{0}^{v_c}\dfrac{d v'}{V-v'}=\int_{0}^{t}\dfrac{d t'}{RC}.
    • Resolvendo com condição inicial v_c(0)=0 resulta em v_c(t)=V(1-e^{-t/RC}).
  • Aqui \tau=RC já calculado.

Passo 6

Aplicar a condição V_c(t)=0{,}8\,V e isolar t.
  • Colocar os valores na equação:
\frac{V_c(t)}{V}=1-e^{-t/\tau}\quad\Rightarrow\quad 0{,}8=1-e^{-t/\tau}.
  • Isolar o exponencial:
e^{-t/\tau}=1-0{,}8=0{,}2.
  • Tomar logaritmo natural dos dois lados:
-\frac{t}{\tau}=\ln(0{,}2).
  • Logo
t=-\tau\ln(0{,}2)=\tau\left(-\ln(0{,}2)\right).

Passo 7

Calcular numericamente t usando \tau=1{,}88\\ \mathrm{s} e \ln(0{,}2).
  • Valor do logaritmo:
\ln(0{,}2)\approx-1{,}609437912\quad(\text{usar } \ln(0{,}2)\approx-1{,}609).
  • Então
t=1{,}88\\ \mathrm{s}\times 1{,}609\approx 3{,}03\\ \mathrm{s}.
  • Interpretação rápida: em cerca de 3{,}0\\ \mathrm{s} a tensão do capacitor equivalente alcança 80\% da fonte. Isso faz sentido porque t\approx1{,}61\tau (lembrar que em t=\tau atinge 63{,}2\%, em t=2\tau atinge 86{,}5\%).

Resposta

t\approx 3{,}03\\ \mathrm{s}

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