Questão 3. [10 pontos] Em um circuito retificador de meia-onda com filtro capacitivo, como a ondulação de tensão se comporta em relação à capacitância C ?
a) A ondulação é diretamente proporcional à frequência da fonte.
b) A ondulação aumenta conforme a capacitância C aumenta.
c) A ondulação independe do valor da capacitância.
d) A ondulação é inversamente proporcional à capacitância C.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: determinar como a ondulação (ripple) de tensão se comporta quando a capacitância C varia, em um circuito retificador de meia-onda com filtro capacitivo.
  • Opções fornecidas:
    a) ondulação diretamente proporcional à frequência da fonte.
    b) ondulação aumenta conforme C aumenta.
    c) ondulação independe do valor de C.
    d) ondulação inversamente proporcional à capacitância C.
  • Informação implícita que usaremos: há um capacitor C ligado em paralelo com a carga (resistência de carga R), que é recarregado a cada semionda (meia-onda) da fonte de frequência f.

Passo 2

Entendendo qualitativamente o que acontece (sem fórmulas ainda):
  • O capacitor armazena carga quando a saída do retificador atinge o pico; entre picos o capacitor descarrega através da carga R, fazendo a tensão no capacitor cair um pouco até o próximo pico, quando ele é recarregado. Essa pequena queda na tensão entre recargas é a ondulação \Delta V.
  • Intuição: quanto maior o capacitor, mais carga ele pode guardar, logo a queda de tensão entre picos tende a ser menor. Isso já sugere que a ondulação diminui quando C aumenta (ou seja, é inversamente relacionada a C). Vamos formalizar isso.

Passo 3

Relacionando carga, corrente e variação de tensão no capacitor (fórmula básica):
  • A relação fundamental é que a variação de carga no capacitor \Delta Q está ligada à variação de tensão \Delta V por
\Delta Q = C\,\Delta V.
  • A corrente média que descarga o capacitor para alimentar a carga é I_{\text{load}}. Em um intervalo de tempo \Delta t entre recargas, a carga perdida é
\Delta Q = I_{\text{load}}\,\Delta t.
  • Igualando as duas expressões para \Delta Q obtemos a expressão para a ondulação:
C\,\Delta V = I_{\text{load}}\,\Delta t \quad\Rightarrow\quad \Delta V = \frac{I_{\text{load}}\,\Delta t}{C}.
Expliquei: C é a capacitância, \Delta V é a ondulação (queda de tensão entre recargas), I_{\text{load}} é a corrente que sai para a carga, e \Delta t é o intervalo entre eventos de recarga do capacitor.

Passo 4

Aplicando ao retificador de meia-onda: qual é \Delta t e expressando I_{\text{load}}
  • Em meia-onda, o capacitor é recarregado uma vez por período da fonte. O período da fonte é T=\dfrac{1}{f}. Portanto o tempo entre recargas é aproximadamente
\Delta t = T = \frac{1}{f}.
  • A corrente de carga média pode ser escrita em função da tensão média aproximada V_{\text{DC}} e da resistência R como
I_{\text{load}} \approx \frac{V_{\text{DC}}}{R}.
  • Substituindo em \Delta V = \dfrac{I_{\text{load}}\,\Delta t}{C} obtemos
\Delta V \approx \frac{I_{\text{load}}}{f\,C}.
Ou escrevendo em termos de V_{\text{DC}} e R,
\Delta V \approx \frac{V_{\text{DC}}}{R}\cdot\frac{1}{f\,C} = \frac{V_{\text{DC}}}{f\,R\,C}.
Conclusão imediata desta fórmula: \Delta V é inversamente proporcional a C (mantendo os outros parâmetros constantes).

Passo 5

Derivação um pouco mais precisa (exponencial) e aproximação para pequeno ripple
  • Se quiser a expressão mais exata da descarga do capacitor entre recargas, a tensão do capacitor satisfaz (descarga exponencial):
v_C(t)=V_{\text{pk}}\,e^{-t/(R C)},
onde V_{\text{pk}} é a tensão logo após a recarga. Após um intervalo T=\dfrac{1}{f} a tensão será
v_C(T)=V_{\text{pk}}\,e^{-1/(f R C)}.
  • A ondulação é \Delta V = V_{\text{pk}} - v_C(T) = V_{\text{pk}}\bigl(1-e^{-1/(fRC)}\bigr).
  • Para pequeno ripple (quando 1/(fRC)\ll 1) usa-se a aproximação e^{-x}\approx 1-x, o que dá
\Delta V \approx V_{\text{pk}}\cdot\frac{1}{f R C} = \frac{I_{\text{load}}}{f C},
recuperando a fórmula simples do Passo 4. Novamente, \Delta V\propto\frac{1}{C}.

Passo 6

Resumo intuitivo e observações práticas
  • Resultado chave: a ondulação \Delta V diminui quando C aumenta; isto é, \Delta V é inversamente proporcional a C (para carga e frequência fixas).
  • Observações úteis para prova:
    • Se dobrar C, a ondulação aproximadamente corta pela metade (sob mesmas condições).
    • A ondulação também é inversamente proporcional à frequência f: para retificador de meia-onda aumento em f reduz \Delta V. (Para retificador de onda cheia a recarga ocorre duas vezes por período e a dependência em f muda numericamente.)
    • Se a carga R diminuir (corrente maior), a ondulação aumenta, pois I_{\text{load}} cresce.
  • Portanto, entre as opções dadas, a que corresponde à relação correta com C é a opção que diz "inversamente proporcional à capacitância C".

Resposta

d) A ondulação é inversamente proporcional à capacitância C.

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