Questão 2. [10 pontos] Qual é o valor médio aproximado da tensão de saída de um retificador com ponte de diodos ao ser aplicado na entrada um sinal senoidal com amplitude 31,4 V ?
a) 5 V
b) 10 V
c) 15 V
d) 20 V

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o valor médio aproximado da tensão de saída de um retificador com ponte de diodos quando a entrada é um sinal senoidal com amplitude 31{,}4\\ \text{V}.
Informações dadas:
  • Amplitude do sinal senoidal de entrada: V_m = 31{,}4\\ \text{V}.
    O que o enunciado pede:
  • Calcular o valor médio (valor DC médio) da tensão de saída do retificador com ponte de diodos, e escolher entre as alternativas fornecidas.

Passo 2

Entendendo o que é pedido (explicação didática e sem pular etapas).
Um retificador com ponte de diodos (full-wave bridge) transforma a tensão senoidal alternada v_{\text{in}}(t)=V_m\sin(\omega t) numa tensão que, ao longo do tempo, tem sempre sinal positivo aproximando-se do valor absoluto do seno. Ou seja, a forma de onda na saída é aproximadamente |V_m\sin(\omega t)|.
O “valor médio” pedido é a média temporal dessa forma de onda sobre um período T. Em linguagem matemática, para uma função v(t) periódica com período T o valor médio é
\overline{v}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v(t)\,dt.
Aqui usaremos v(t)=|V_m\sin(\omega t)|.

Passo 3

Montando a integral do valor médio para a saída do retificador de ponte.
A tensão de saída é v(t)=|V_m\sin(\omega t)|. O período é T=\dfrac{2\pi}{\omega}. Portanto:
\overline{v}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} |V_m\sin(\omega t)|\,dt.
Fazendo a mudança de variável \theta=\omega t então dt=\dfrac{d\theta}{\omega} e os limites t=0\to T viram \theta=0\to 2\pi. Assim
\overline{v}=\frac{1}{\tfrac{2\pi}{\omega}}\int_{0}^{2\pi} |V_m\sin\theta|\cdot\frac{d\theta}{\omega} = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} V_m|\sin\theta|\,d\theta.

Passo 4

Calculando a integral \displaystyle\int_{0}^{2\pi}|\sin\theta|\,d\theta.
A função |\sin\theta| é simétrica e em cada quarto de período integra-se facilmente. Uma forma direta:
\int_{0}^{2\pi}|\sin\theta|\,d\theta = 4\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta.
Calculando a integral básica
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} = -\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0 + 1 = 1.
Logo
\int_{0}^{2\pi}|\sin\theta|\,d\theta = 4\cdot 1 = 4.

Passo 5

Obter a fórmula final do valor médio e aplicar o valor de V_m.
Substituindo na expressão do Passo 3:
\overline{v}=\frac{V_m}{2\pi}\cdot 4 = \frac{2V_m}{\pi}.
Agora plugamos V_m=31{,}4\\ \text{V}. Observação útil: 31{,}4\approx 10\pi (pois \pi\approx 3{,}14), então fica muito simples:
\overline{v}=\frac{2\cdot 31{,}4}{\pi} \approx \frac{2\cdot 10\pi}{\pi}=20\\ \text{V}.

Passo 6

Comentário prático sobre os diodos (quando isso muda o número).
Na ponte de diodos cada meio-ciclo conduz através de duas junções de diodo em série, então há uma queda de tensão de aproximadamente 2V_D no pico se os diodos não forem ideais. Se for considerado V_D\approx 0{,}7\\ \text{V} então o pico efetivo fica V_m' = V_m - 2V_D = 31{,}4 - 1{,}4 = 30{,}0\\ \text{V} e o valor médio aproximado passa a ser
\overline{v}\approx \frac{2V_m'}{\pi}=\frac{2\cdot 30{,}0}{\pi}\approx 19{,}1\\ \text{V}.
Esse ajuste mostra o efeito prático dos diodos, mas entre as alternativas do enunciado a que melhor bate com o cálculo ideal é 20\\ \text{V}.

Resposta

d) 20\\ \text{V}

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