Dois carros, A e B, se movem em uma pista reta e horizontal, no mesmo sentido, com uma velocidade de móduso 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O carro B está a uma distância de 80 m à frente do carro A, quando começa a desacelerar a uma taxa constante de módulo 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Calcule a distância entre os carros após 4,0 \mathrm{~s}. Calcule o módulo da velocidade do carro B quando ele colide com o carro A. ( 3,5 pontos)

Passo 1

Dados que o enunciado fornece:
\begin{aligned} &\text{Velocidade inicial do carro A: }v_{A0}=30\\ \mathrm{m/s}.\\\ &\text{Velocidade inicial do carro B: }v_{B0}=30\\ \mathrm{m/s}.\\\ &\text{Posição inicial do carro A (escolhemos origem): }x_{A}(0)=0\\ \mathrm{m}.\\\ &\text{Posição inicial do carro B: }x_{B}(0)=80\\ \mathrm{m}\\ \text{à frente de A.}\\\ &\text{A desaceleração (módulo) do carro B: }|a_B|=5,0\\ \mathrm{m/s^{2}}\Rightarrow a_B=-5,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.\\\ &\text{Tempo para avaliar a primeira pergunta: }t=4,0\\ \mathrm{s}. \end{aligned}çãçãàçãó

Perguntas:
\begin{aligned} &\text{(1) Qual é a distância entre os carros após }t=4,0\\ \mathrm{s}?\\\ &\text{(2) Qual é o módulo da velocidade do carro B quando ele colide com A?} \end{aligned}éâóéó

Passo 2

Apresento a fórmula de movimento retilíneo com aceleração constante (ferramenta básica aqui):
x(t)=x_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2,

onde:
\begin{aligned} &x(t)\\ \text{é a posição no tempo }t,\\\ &x_0\\ \text{é a posição inicial (em }t=0\text{)},\\\ &v_0\\ \text{é a velocidade inicial},\\\ &a\\ \text{é a aceleração (positiva ou negativa)}. \end{aligned}éçãéçãééçã

Também a velocidade instantânea para aceleração constante é
v(t)=v_0+a t.

Passo 3

Aplicando ao carro A: como A não acelera, sua aceleração é a_A=0. Usando x_0=x_A(0)=0 e v_0=v_{A0}=30\\ \mathrm{m/s},
x_A(t)=0+30\,t=30\,t\qquad(\mathrm{m}).

Passo 4

Aplicando ao carro B: temos x_{B0}=80\\ \mathrm{m}, v_{B0}=30\\ \mathrm{m/s} e a_B=-5,0\\ \mathrm{m/s^{2}}. Usando a fórmula,
x_B(t)=80+30\,t+\frac{1}{2}(-5,0)\,t^2=80+30\,t-2,5\,t^2\qquad(\mathrm{m}).

Passo 5

Distância entre os carros em função do tempo é a diferença
d(t)=x_B(t)-x_A(t).
Substituindo as expressões obtidas,
d(t)=\bigl(80+30t-2,5t^2\bigr)-\bigl(30t\bigr)=80-2,5t^2.

Passo 6

Calcule d(4,0). Substituindo t=4,0\\ \mathrm{s} em d(t)=80-2,5t^2,
d(4,0)=80-2,5\,(4,0)^2=80-2,5\cdot 16=80-40=40\\ \mathrm{m}.
Portanto, após 4,0\\ \mathrm{s} a distância entre os carros é 40\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Para achar o instante de colisão resolvemos d(t)=0 (quando as posições coincidem):
80-2,5t^2=0\quad\Rightarrow\quad t^2=\frac{80}{2,5}=32.

Logo
t_{\text{colisão}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx 5,657\\ \mathrm{s}.ã

Passo 8

Velocidade do carro B no instante da colisão: use v_B(t)=v_{B0}+a_B t. Então
v_B(t_{\text{colisão}})=30+(-5)\,t_{\text{colisão}}=30-5\cdot(4\sqrt{2})=30-20\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}.ãã
Valor numérico aproximado (usando \sqrt{2}\approx 1,41421356):
v_B(t_{\text{colisão}})\approx 30-20\cdot 1,41421356\approx 1,716\\ \mathrm{m/s}\approx 1,72\\ \mathrm{m/s}.ã

Passo 9

Pequena checagem de coerência: o tempo em que B para seria v_B(t)=0\Rightarrow 30-5t=0\Rightarrow t=6,0\\ \mathrm{s}. Como t_{\text{colisão}}\approx 5,657\\ \mathrm{s}<6,0\\ \mathrm{s}ã, a colisão ocorre antes de B parar — consistente com o resultado positivo de v_B no instante da colisão.

Resposta

\text{Distância após }4,0\\ \mathrm{s}: 40\\ \mathrm{m}âó
\text{Módulo da velocidade de }B\text{ na colisão}: 30-20\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\approx 1,72\\ \mathrm{m/s}óã

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