Uma partícula de massa
e energia
colide elasticamente com uma partícula de massa
em repouso. Se a massa
deixar o local da colisão em um ângulo
com a direção original do movimento de
, qual a energia
transferida para a partícula
? Mostre que
é um máximo para uma colisão frontal e que, neste caso, a perda de energia da partícula incidente na colisão é
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Dadas as massas
e . - A partícula de massa
vem com energia cinética inicial e velocidade inicial ao longo de um eixo que chamamos de . Ou seja, antes da colisão está na direção . - A partícula de massa
está inicialmente em repouso. - A colisão é elástica (energia cinética total e momento linear total são conservados).
- Após a colisão,
parte com velocidade de módulo formando um ângulo com a direção original de .
O que se pede:
- Determinar a energia transferida para
, isto é , em função de , das massas e de . - Mostrar que
é máximo para colisão frontal (isto é, ). - Para esse caso frontal, mostrar que a perda de energia da partícula incidente satisfaz
Passo 2
Primeiro relaciono energia cinética e velocidade da partícula incidente antes da colisão. A relação é a fórmula básica
Aqui
é o módulo da velocidade inicial de
. Vou expressar
em função de
quando precisar:
. Esta é uma fórmula fundamental que usamos sempre: energia cinética é meia massa vezes o quadrado da velocidade.
Passo 3
Agora uso as leis de conservação aplicáveis à colisão elástica no referencial laboratorial (onde
estava em repouso). São duas equações vetoriais: conservação do momento linear e conservação da energia cinética. Escrevo as componentes (tomando o eixo
na direção inicial de
).
Conservação do momento (componentes em
e
):
Aqui
e
são o módulo da velocidade final e o ângulo de
após a colisão (não conhecemos
, apenas
).
Conservação da energia cinética:
Conservação da energia cinética:
que é a forma multiplicada por 2 (evita os
).
Passo 4
Da equação da componente
extraio uma relação entre
e
:
Da componente
isolo a projeção:
Essas duas expressões dão as componentes
e
de
. Vou agora calcular
somando os quadrados das componentes.
Passo 5
Calculo
. Substituindo as expressões do Passo 4:
Agora simplifico usando
:
Passo 6
Substituo essa expressão de
na equação de conservação da energia (Passo 3):
Desenvolvendo e simplificando: o termo
cancela em ambos os lados, ficando
Factorizando
e isolando
(assumindo colisão não-trivial
):
Logo
Esse é um passo crucial: achamos o módulo da velocidade final de
em função da velocidade inicial de
e do ângulo
.
Passo 7
Agora escrevo a energia transferida para
:
Substituo
obtido no passo anterior:
Simplifico e uso
:
Portanto a energia transferida para
é proporcional a
; a constante de proporcionalidade depende só das massas e da energia inicial.
Passo 8
Para ver quando
é máximo, observo a dependência em
:
. A função
atingirá seu valor máximo
quando
, ou seja, para
(ou
, mas fisicamente no problema de espalhamento para frente interessa
como colisão frontal onde o alvo segue na mesma direção do incidente). Então o máximo ocorre para colisão frontal
. No caso frontal:
Passo 9
Como a colisão é elástica, a perda de energia da partícula incidente é exatamente a energia ganha pela outra partícula (a variação de energia cinética do sistema é zero), ou seja
Portanto, para a colisão frontal (onde
é máximo),
Isto coincide com a expressão pedida (troquei
por
visto que ambas representam a energia cinética inicial do projétil no enunciado).