Uma partícula de massa m_{1} e energia T_{1 I} colide elasticamente com uma partícula de massa m_{2} em repouso. Se a massa m_{2} deixar o local da colisão em um ângulo \theta_{2} com a direção original do movimento de m_{1}, qual a energia T_{2 F} transferida para a partícula m_{2} ? Mostre que T_{2 F} é um máximo para uma colisão frontal e que, neste caso, a perda de energia da partícula incidente na colisão é
T_{1 I}-T_{1 F}=\frac{4 m_{1} m_{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}} T_{1 H}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Dadas as massas \,m_{1} e \,m_{2}.
  • A partícula de massa \,m_{1} vem com energia cinética inicial \,T_{1I} e velocidade inicial ao longo de um eixo que chamamos de x. Ou seja, antes da colisão \,v_{1i} está na direção x.
  • A partícula de massa \,m_{2} está inicialmente em repouso.
  • A colisão é elástica (energia cinética total e momento linear total são conservados).
  • Após a colisão, \,m_{2} parte com velocidade de módulo \,v_{2f} formando um ângulo \,\theta_{2} com a direção original de \,m_{1}.
    O que se pede:
  1. Determinar a energia transferida para \,m_{2}, isto é \,T_{2F}=\tfrac{1}{2}m_{2}v_{2f}^{2}, em função de \,T_{1I}, das massas e de \,\theta_{2}.
  2. Mostrar que \,T_{2F} é máximo para colisão frontal (isto é, \theta_{2}=0).
  3. Para esse caso frontal, mostrar que a perda de energia da partícula incidente satisfaz
T_{1I}-T_{1F}=\frac{4 m_{1} m_{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}}\,T_{1I}.

Passo 2

Primeiro relaciono energia cinética e velocidade da partícula incidente antes da colisão. A relação é a fórmula básica
T_{1I}=\tfrac{1}{2}m_{1}v_{1i}^{2}.
Aqui \,v_{1i} é o módulo da velocidade inicial de \,m_{1}. Vou expressar \,v_{1i}^{2} em função de \,T_{1I} quando precisar: \,v_{1i}^{2}=2T_{1I}/m_{1}. Esta é uma fórmula fundamental que usamos sempre: energia cinética é meia massa vezes o quadrado da velocidade.

Passo 3

Agora uso as leis de conservação aplicáveis à colisão elástica no referencial laboratorial (onde \,m_{2} estava em repouso). São duas equações vetoriais: conservação do momento linear e conservação da energia cinética. Escrevo as componentes (tomando o eixo x na direção inicial de \,m_{1}).
Conservação do momento (componentes em x e y):
\text{(x)}\quad m_{1}v_{1i}=m_{1}v_{1f}\cos\theta_{1}+m_{2}v_{2f}\cos\theta_{2},
\text{(y)}\quad 0=m_{1}v_{1f}\sin\theta_{1}-m_{2}v_{2f}\sin\theta_{2}.
Aqui \,v_{1f} e \theta_{1} são o módulo da velocidade final e o ângulo de \,m_{1} após a colisão (não conhecemos \theta_{1}, apenas \theta_{2}).
Conservação da energia cinética:
m_{1}v_{1i}^{2}=m_{1}v_{1f}^{2}+m_{2}v_{2f}^{2},
que é a forma multiplicada por 2 (evita os \tfrac{1}{2}).

Passo 4

Da equação da componente y extraio uma relação entre \,v_{1f} e \,v_{2f}:
m_{1}v_{1f}\sin\theta_{1}=m_{2}v_{2f}\sin\theta_{2} \quad\Longrightarrow\quad v_{1f}\sin\theta_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}}\,v_{2f}\sin\theta_{2}.
Da componente x isolo a projeção:
v_{1f}\cos\theta_{1}=v_{1i}-\frac{m_{2}}{m_{1}}\,v_{2f}\cos\theta_{2}.
Essas duas expressões dão as componentes x e y de \,v_{1f}. Vou agora calcular v_{1f}^{2} somando os quadrados das componentes.

Passo 5

Calculo v_{1f}^{2}=(v_{1f}\cos\theta_{1})^{2}+(v_{1f}\sin\theta_{1})^{2}. Substituindo as expressões do Passo 4:
v_{1f}^{2}=\left(v_{1i}-\frac{m_{2}}{m_{1}}v_{2f}\cos\theta_{2}\right)^{2} +\left(\frac{m_{2}}{m_{1}}v_{2f}\sin\theta_{2}\right)^{2}.
Agora simplifico usando \cos^{2}\theta_{2}+\sin^{2}\theta_{2}=1:
v_{1f}^{2}=v_{1i}^{2}-2\frac{m_{2}}{m_{1}}v_{1i}v_{2f}\cos\theta_{2} +\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}v_{2f}^{2}.

Passo 6

Substituo essa expressão de v_{1f}^{2} na equação de conservação da energia (Passo 3):
m_{1}v_{1i}^{2}=m_{1}\left(v_{1i}^{2}-2\frac{m_{2}}{m_{1}}v_{1i}v_{2f}\cos\theta_{2} +\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}v_{2f}^{2}\right)+m_{2}v_{2f}^{2}.
Desenvolvendo e simplificando: o termo m_{1}v_{1i}^{2} cancela em ambos os lados, ficando
0=-2m_{2}v_{1i}v_{2f}\cos\theta_{2}+\left(\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}}+m_{2}\right)v_{2f}^{2}.
Factorizando m_{2} e isolando v_{2f} (assumindo colisão não-trivial v_{2f}\neq 0):
0=-2v_{1i}\cos\theta_{2}+v_{2f}\left(\frac{m_{2}+m_{1}}{m_{1}}\right).
Logo
v_{2f}=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1i}\cos\theta_{2}.
Esse é um passo crucial: achamos o módulo da velocidade final de \,m_{2} em função da velocidade inicial de \,m_{1} e do ângulo \theta_{2}.

Passo 7

Agora escrevo a energia transferida para \,m_{2}:
T_{2F}=\tfrac{1}{2}m_{2}v_{2f}^{2}.
Substituo v_{2f} obtido no passo anterior:
T_{2F}=\tfrac{1}{2}m_{2}\left(\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}v_{1i}^{2} =\tfrac{1}{2}m_{2}\frac{4m_{1}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}v_{1i}^{2}.
Simplifico e uso v_{1i}^{2}=2T_{1I}/m_{1}:
T_{2F}=\frac{4m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}\,T_{1I}\,\cos^{2}\theta_{2}.
Portanto a energia transferida para \,m_{2} é proporcional a \cos^{2}\theta_{2}; a constante de proporcionalidade depende só das massas e da energia inicial.

Passo 8

Para ver quando T_{2F} é máximo, observo a dependência em \theta_{2}: \,T_{2F}\propto\cos^{2}\theta_{2}. A função \cos^{2}\theta_{2} atingirá seu valor máximo 1 quando \cos\theta_{2}=\pm 1, ou seja, para \theta_{2}=0 (ou 180^\circ, mas fisicamente no problema de espalhamento para frente interessa \theta_{2}=0 como colisão frontal onde o alvo segue na mesma direção do incidente). Então o máximo ocorre para colisão frontal \theta_{2}=0. No caso frontal:
T_{2F}^{\text{(máx)}}=\frac{4m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}\,T_{1I}.á

Passo 9

Como a colisão é elástica, a perda de energia da partícula incidente é exatamente a energia ganha pela outra partícula (a variação de energia cinética do sistema é zero), ou seja
T_{1I}-T_{1F}=T_{2F}.
Portanto, para a colisão frontal (onde T_{2F} é máximo),
T_{1I}-T_{1F}=\frac{4m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}\,T_{1I}.
Isto coincide com a expressão pedida (troquei T_{1H} por T_{1I} visto que ambas representam a energia cinética inicial do projétil no enunciado).

Resposta

T_{2F}=\frac{4m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}\,T_{1I}\,\cos^{2}\theta_{2}
T_{1I}-T_{1F}=\frac{4m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}\,T_{1I}\quad\text{(caso frontal, \(\theta_{2}=0\)).}

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