Dois condutores esféricos idênticos, cada um deles conectado a um suporte isolante que permite movê-los, estão inicialmente neutros. Caso deseje, você pode colocá-los em contato mútuo, separá-los, aterrar ou não qualquer um deles, estando todas essas opções disponíveis a qualquer tempo, podendo ser realizadas inúmeras vezes e em qualquer ordem. Você dispõe também de um bastão de vidro e de uma flanela, que pode ser usada para carregar (eletrificar) o bastão.
(a) Proponha um método para carregar ambos os condutores com cargas de mesmo valor, em módulo e sinal, sem tocar qualquer dos condutores com o bastão ou a flanela;
(b) Proponha um método para dotar ambos os condutores com cargas de mesmo valor em módulo, porém de sinais opostos, sem tocar qualquer dos condutores com o bastão ou a flanela;
(c) Verifique se, em cada um dos itens anteriores, o método proposto por você exige que os condutores sejam esferas idênticas.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com dois condutores esféricos idênticos (montados em suportes isolantes, móveis), inicialmente neutros. Posso:
  • colocá-los em contato ou separá-los,
  • aterrar (ou deixar não aterrado) qualquer um deles a qualquer momento,
  • e usar um bastão de vidro eletrificado (por atrito com a flanela) aproximando-o, mas sem tocar os condutores com o bastão ou com a flanela.
As perguntas são:
(a) Propor um método para carregar ambos os condutores com cargas de mesmo valor, em módulo e sinal, sem tocar os condutores com o bastão ou a flanela.
(b) Propor um método para dotar ambos os condutores com cargas de mesmo valor em módulo, porém de sinais opostos, sem tocar os condutores com o bastão ou a flanela.
(c) Verificar, para cada item anterior, se o método exige que os condutores sejam esferas idênticas.

Passo 2

Pequena revisão das ideias que vou usar (aqui explico bem devagar, como num passo a passo de prova).
  • Condutor em equilíbrio eletrostático: toda carga livre fica na superfície; se dois condutores estão em contato, cargas movem-se até que ambos tenham o mesmo potencial elétrico.
  • Potencial de uma esfera isolada (raio R) carregada com carga Q é proporcional a Q/R. Mais precisamente, para uma esfera isolada no vácuo:
V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R}.
Isso é útil para entender como cargas se repartem entre esferas de raios diferentes (se os raios forem iguais, igualdade de potenciais implica igualdade de cargas).
  • Aterramento (ligação à Terra): permite que elétrons entrem ou saiam do condutor para o Terra. Se um condutor está ligado à Terra enquanto existe uma indução, a Terra pode fornecer ou absorver carga.
  • Indução eletrostática (sem toque): aproximando um bastão carregado de um condutor neutro, a distribuição de cargas no condutor se reorganiza — aparece uma região com excesso de carga de sinal oposto ao bastão e outra com excesso de sinal igual ao bastão. Se, nesse momento, a peça for aterrada, pode haver fluxo de carga entre Terra e o condutor; ao retirar a ligação à Terra e depois afastar o bastão, fica uma carga líquida no condutor.
  • Conservação de carga: em todo o processo, se não houver ligação à Terra ou contato com outra reserva, a carga total do conjunto isolado permanece constante.
Esses conceitos bastam para construir os métodos pedidos.

Passo 3

Objetivo (a): obter duas esferas com cargas iguais em módulo e sinal (por exemplo, ambas negativas com mesma magnitude), sem tocar as esferas com o bastão.
Estratégia escolhida (método direto e prático):
  1. Eletrificar o bastão (por exemplo, com carga positiva).
  2. Usar indução+aterramento numa das esferas para deixá-la com carga líquida de determinado sinal (por exemplo, negativa) — sem tocar a esfera com o bastão.
  3. Em seguida, colocar as duas esferas em contato elétrico para que a carga se redistribua igualmente (isto exige que as esferas sejam idênticas para que a partilha seja igual).
  4. Separar as esferas: cada uma terá a mesma carga (mesmo sinal e mesmo módulo).
Agora descrevo esse procedimento em passos práticos e explico por que funciona.

Passo 4

Procedimento prático (exemplo para obter duas cargas negativas iguais):
  1. Eletrifique o bastão, obtendo nele carga positiva (por fricção com a flanela).
  2. Aproxime o bastão da esfera A (sem tocar). O bastão positivo induz no condutor A uma separação de cargas: cargas negativas se acumulam no lado próximo ao bastão e cargas positivas no lado oposto. A esfera B fica neutra e isolada neste momento.
  3. Enquanto o bastão permanece próximo a A, conecte a esfera A à Terra (aterre-a). Como há atração de elétrons pela região próxima ao bastão, com o aterramento elétrons da Terra entram no condutor e deslocam-se para neutralizar a região positiva induzida; quando a ligação com a Terra é interrompida nessa situação, sobra um excesso de elétrons no condutor.
  4. Primeiro desligue a ligação à Terra (ou seja, “feche” a entrada de Terra) e só então afaste o bastão. Ao retirar o bastão depois de desconectar a Terra, a esfera A fica com carga líquida negativa — chame essa carga de -Q. (Se em vez disso o bastão tivesse sido carregado negativamente, o procedimento simétrico daria uma carga positiva em A.)
  5. Traga a esfera B e coloque A em contato elétrico com B (encostando-as). Como estão em contato, cargas livres fluem entre elas até que as duas tenham o mesmo potencial. Para esferas isoladas idênticas (mesmo raio R), o potencial de cada uma é V = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q_i}{R}; igualando os potenciais, obtém-se Q_A = Q_B. Como a carga total do par é -Q, cada uma ficará com -Q/2.
  6. Separe as esferas. Resultado: ambas com carga -Q/2, ou seja, mesmas magnitudes e mesmo sinal.
Explicação matemática curta da partilha (para fixar a ideia):
Q_{\text{total}} = Q_A + Q_B = -Q + 0 = -Q.
Depois do contato e equilíbrio, Q_A = Q_B. Logo
Q_A = Q_B = \frac{-Q}{2}.
Observações úteis:
  • Se preferir cargas positivas nas duas esferas, comece com bastão negativamente carregado e proceda análogamente (indução com aterramento dá carga positiva no condutor).
  • O processo não envolve tocar as esferas com bastão ou flanela, só aproximação do bastão e conexões elétricas/contato entre esferas e com a Terra.

Passo 5

Objetivo (b): obter duas esferas com cargas de mesmo módulo, mas sinais opostos (por exemplo, +q e -q), sem tocar com bastão ou flanela.
Estratégia escolhida (método por indução com separação enquanto o campo do bastão existe):
  • Colocar as duas esferas em contato (formando um único condutor).
  • Aproximar o bastão carregado de uma das esferas, sem tocar. Isso induz separação de cargas no conjunto.
  • Separar as esferas enquanto o bastão permanece próximo (quebrando o caminho para que as cargas fiquem aprisionadas em cada esfera).
  • Afastar o bastão: as duas esferas ficam com cargas opostas de mesma magnitude (a soma é zero). Explico por que isso ocorre e por que não é necessário que as esferas sejam idênticas.

Passo 6

Procedimento prático:
  1. Coloque as esferas A e B em contato elétrico (encostadas), formando um único condutor (mas sem ligação à Terra). O conjunto está inicialmente neutro (carga total zero).
  2. Eletrifique o bastão (por exemplo, carregue-o positivamente) e aproxime-o da esfera A (sem tocar). O bastão positivo atrai elétrons para a região de A e deixa carregada positivamente a região de B do conjunto. Ou seja, há uma separação interna de cargas: excesso de elétrons no lado próximo ao bastão (região que corresponde à esfera A) e deficiência de elétrons (carga positiva) no lado correspondente à esfera B. O conjunto todo continua com carga total zero.
  3. Ainda com o bastão próximo (ou seja, enquanto o campo induzido existe), separe as esferas A e B (afaste-as até que não estejam mais em contato). Como o contato foi interrompido enquanto a separação de cargas estava estabelecida, cada esfera “leva” a sua porção de carga: A fica com uma carga negativa -q e B com uma carga positiva +q.
  4. Por fim, afaste o bastão. As cargas permanecem em A e B. Resultado: duas esferas com cargas de mesmo módulo e sinais opostos.
Por que os módulos são iguais?
  • A carga total do sistema inicial era zero e não houve aterramento nem entrada/saída de carga externa (apenas rearranjo por indução). Portanto, após a separação vale
q_A + q_B = 0 \quad\Rightarrow\quad q_B = -q_A.
Isto implica que as cargas são de mesmo módulo e sinais opostos. Não usei aterramento em nenhum momento, logo conservação de carga garante essa igualdade.
Observação: esse procedimento também satisfaz a restrição de não tocar as esferas com o bastão (apenas aproximação).

Passo 7

Análise sobre necessidade das esferas serem idênticas em cada caso:
  • Para o método do item (a):
    • Sim, é necessário que as esferas sejam idênticas (mesmo raio) se se quer garantir que, após colocá-las em contato, a carga total se divida em duas partes exatamente iguais. Explicação: em contato as esferas atingem o mesmo potencial V. Para esferas isoladas,
    V_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_i}{R_i}.Igualando V_1=V_2 \dfrac{Q_1}{R_1}=\dfrac{Q_2}{R_2}. Se R_1=R_2 então Q_1=Q_2 e, com carga total conhecida, cada uma recebe exatamente metade. Se os raios forem diferentes, a partilha será desigual (proporcional aos raios), logo não se obtém automaticamente cargas de mesmo módulo.
  • Para o método do item (b):
    • Não: não é necessário que as esferas sejam idênticas. A razão é que o procedimento não depende de partilha por contato que iguala potenciais entre esferas de raios distintos; trata-se de induzir uma separação de cargas no conjunto neutro e depois separar o conjunto sem permitir saída de carga para o exterior. Como a carga total do par era zero e permanecera zero (não houve aterramento nem contato com reserva externa), ao separar as esferas os sinais das cargas nas duas partes são opostos e as magnitudes satisfazem q_A + q_B = 0, isto é, |q_A|=|q_B|. Isso vale independentemente dos tamanhos relativos das esferas, pois é apenas conservação de carga do sistema isolado no processo.

Passo 8

  • Ao usar aterramento no item (a), atenção à ordem: é fundamental desconectar a Terra antes de afastar o bastão; se afastar o bastão com a Terra conectada pode neutralizar o efeito.
  • No item (b), é importante separar as esferas enquanto o bastão ainda está próximo, para “congelar” a separação de carga; só depois afastar o bastão.
  • Sempre verificar que não há caminho de descarga (umidade, contato indesejado) que anule o resultado.
  • Se quiser valores numéricos, pode medir a carga com um electromêtro; no contexto de prova geralmente se pede apenas o método e justificativa qualitativa/quantitativa como acima.

Resposta

(a) Induzir carga numa esfera por aproximação do bastão e aterramento (indução): aproximar bastão carregado de A, aterrar A enquanto o bastão estiver perto, desligar a Terra e só então afastar o bastão — A fica com carga -Q. Em seguida colocar A e B em contato e separar; como as esferas são idênticas, a carga total -Q divide-se igualmente, ficando cada uma com -Q/2.
(b) Colocar A e B em contato (neutras), aproximar o bastão de A (induzindo separação de cargas no conjunto), separar A e B enquanto o bastão permanece próximo e só então afastar o bastão; A e B ficam com cargas -q e +q (mesmo módulo, sinais opostos) porque a carga total permaneceu zero.
(c) (a) exige esferas idênticas para garantir que, após o contato, a carga se partilhe igualmente; (b) não exige esferas idênticas — a igualdade dos módulos decorre da conservação da carga do sistema isolado.

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