Dois condutos estão em série: o primeiro tem 100 m de comprimento e 50 mm de diâmetro; o segundo tem 150 m e 75 mm . Explique como encontrar um conduto único equivalente.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (dados extraídos do enunciado):
  • Primeiro conduto: comprimento L_1 = 100\\ \text{m}, diâmetro D_1 = 50\\ \text{mm} = 0{,}050\\ \text{m}.
  • Segundo conduto: comprimento L_2 = 150\\ \text{m}, diâmetro D_2 = 75\\ \text{mm} = 0{,}075\\ \text{m}.
    O enunciado pede: explicar como encontrar um conduto único equivalente a esses dois condutos em série.
    Observação importante (informação que falta no enunciado): não foi dado vazão Q, nem propriedades do fluido (densidade, viscosidade) nem rugosidade absoluta das paredes. Isso significa que não é possível dar um único valor numérico para um conduto equivalente sem escolher ou saber pelo menos a vazão e as características do fluido/ superfície. Vou então apresentar o método geral passo a passo, explicando as hipóteses que podem ser feitas e dando uma fórmula prática que permite obter um conduto equivalente uma vez conhecidos Q, as propriedades do fluido e a rugosidade.

Passo 2

Princípio físico e fórmula básica (Darcy–Weisbach) — aula curta e necessária:
  • A perda de carga por atrito num trecho de tubo direito e homogêneo é dada por Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga (m);
  • f é o fator de atrito (adimensional), função do regime de escoamento (número de Reynolds) e da rugosidade relativa;
  • L é o comprimento do trecho (m);
  • D é o diâmetro interno do tubo (m);
  • V é a velocidade média do fluido no tubo (m/s);
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \text{m/s}^2).
  • Relação entre vazão volumétrica Q e velocidade média V:
V = \frac{4Q}{\pi D^2}.
  • Substituindo V na fórmula de Darcy–Weisbach obtemos a perda de carga do trecho expressa em função de Q:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{1}{2g}\left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)^2 = \left(\frac{8}{\pi^2 g}\,f\,\frac{L}{D^5}\right) Q^2.
Explicação: assim cada trecho tem uma “constante de resistência hidráulica” multiplicando Q^2. Essa forma é útil porque em série a perda total é soma das perdas dos trechos.

Passo 3

Perda total em série e definição da constante equivalente:
  • Para os dois trechos em série vale que a vazão Q é a mesma nos dois e a perda total é a soma:
h_{tot} = h_1 + h_2.
  • Usando a forma em função de Q das perdas:
h_{tot} = \left(\frac{8}{\pi^2 g}\right)\!\left( f_1\frac{L_1}{D_1^5} + f_2\frac{L_2}{D_2^5} \right) Q^2.
  • Defina a constante total
K_{\text{eq}} \equiv \left(\frac{8}{\pi^2 g}\right)\!\left( f_1\frac{L_1}{D_1^5} + f_2\frac{L_2}{D_2^5} \right),
de modo que h_{tot}=K_{\text{eq}}\,Q^2.

Passo 4

Como representar um único conduto equivalente — escolha das incógnitas:
  • Um conduto único equivalente, de diâmetro D_{\text{eq}} e comprimento L_{\text{eq}}, deverá produzir a mesma perda total para a mesma vazão Q:
h_{tot} = \left(\frac{8}{\pi^2 g}\right) f_{\text{eq}} \frac{L_{\text{eq}}}{D_{\text{eq}}^5}\; Q^2.
  • Igualando com a expressão para h_{tot} obtida no passo anterior e cancelando Q^2, obtém-se a relação exata:
\left(\frac{8}{\pi^2 g}\right) f_{\text{eq}} \frac{L_{\text{eq}}}{D_{\text{eq}}^5} = \left(\frac{8}{\pi^2 g}\right)\!\left( f_1\frac{L_1}{D_1^5} + f_2\frac{L_2}{D_2^5} \right).
  • Cancelando o fator comum obtemos a fórmula prática para L_{\text{eq}}:
\boxed{\,L_{\text{eq}} \;=\; \frac{D_{\text{eq}}^5}{f_{\text{eq}}}\;\Bigg( f_1\frac{L_1}{D_1^5} + f_2\frac{L_2}{D_2^5}\Bigg)\, }.
Interpretação: para obter um conduto equivalente escolhe-se um diâmetro D_{\text{eq}} (por exemplo um diâmetro comercial), calcula-se os fatores de atrito f_1,f_2,f_{\text{eq}} correspondentes (ver passo 5) e então obtém-se o comprimento L_{\text{eq}} que, com esse diâmetro, dá a mesma perda para a mesma vazão.

Passo 5

Como calcular os fatores de atrito f (detalhe prático e didático):
  • Primeiro: escolha ou saiba a vazão Q, a viscosidade cinemática \nu do fluido e a rugosidade absoluta \epsilon dos tubos.
  • Calcule o número de Reynolds em cada trecho:
\text{Re}_i = \frac{V_i D_i}{\nu},\qquad V_i=\frac{4Q}{\pi D_i^2}.
  • Para escoamento laminar ( \text{Re}<2000) usa-se f_i = \dfrac{64}{\text{Re}_i}.
  • Para escoamento turbulento, usa-se uma equação implícita que depende da rugosidade relativa \epsilon/D_i, por exemplo a equação de Colebrook (implícita) ou a fórmula explícita de Swamee–Jain:
f_i = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\epsilon}{3{,}7D_i} + \dfrac{5{,}74}{\text{Re}_i^{0{,}9}}\right)\right]^2}\quad\text{(Swamee–Jain, aproximada).}
  • Calcule f_1,f_2 e também f_{\text{eq}} (usando D_{\text{eq}} no lugar de D_i e o mesmo Q para obter \text{Re}_{\text{eq}}). Depois aplique a fórmula do Passo 4 para obter L_{\text{eq}}.

Passo 6

Simplificações usuais e exemplo numérico ilustrativo (quando se assume f_1=f_2=f_{\text{eq}}):
  • Se for razoável aproximar f_1=f_2=f_{\text{eq}}=f (por exemplo mesma rugosidade e regimes de escoamento semelhantes), a fórmula do Passo 4 simplifica para
L_{\text{eq}} = D_{\text{eq}}^5 \left(\frac{L_1}{D_1^5} + \frac{L_2}{D_2^5}\right).
  • Exemplo ilustrativo: escolher D_{\text{eq}} = D_1 = 0{,}05\\ \text{m}. Então
L_{\text{eq}} = 0{,}05^5\!\left(\frac{100}{0{,}05^5} + \frac{150}{0{,}075^5}\right) =100 + 150\left(\frac{0{,}05}{0{,}075}\right)^5 \approx 119{,}75\\ \text{m}.
Interpretação do exemplo: com a hipótese f igual em todos os trechos, um único tubo de diâmetro 50\\ \text{mm} e comprimento \approx 119{,}75\\ \text{m} teria a mesma perda (para a mesma vazão) que os dois trechos originais em série. Atenção: esse número é apenas um exemplo didático com a hipótese f igual; para um cálculo rigoroso é necessário calcular os f correspondentes ao Q real e à rugosidade.

Passo 7

Resumo do procedimento prático para usar na prova (passo a passo curto e aplicável):
  1. Escolher a vazão Q que interessa (ou usar a vazão da situação).
  2. Conhecer propriedades do fluido ( \nu) e rugosidade \epsilon.
  3. Calcular \text{Re}_1,\text{Re}_2,\text{Re}_{\text{eq}} com V_i=4Q/(\pi D_i^2).
  4. Calcular f_1,f_2,f_{\text{eq}} (laminar: 64/\text{Re}; turbulento: Colebrook/Swamee–Jain).
  5. Usar a fórmula
L_{\text{eq}} = \frac{D_{\text{eq}}^5}{f_{\text{eq}}}\Big( f_1\frac{L_1}{D_1^5} + f_2\frac{L_2}{D_2^5}\Big)
escolhendo um diâmetro D_{\text{eq}} (por exemplo um diâmetro comercial).
6. O par (D_{\text{eq}},L_{\text{eq}}) é o conduto único equivalente para a mesma perda de carga com a mesma vazão.

Resposta

Para obter um conduto único equivalente: escolher um diâmetro \,D_{\text{eq}}, calcular os fatores de atrito f_1,f_2,f_{\text{eq}} (a partir de Q, \nu e \epsilon), e usar
L_{\text{eq}} \;=\; \frac{D_{\text{eq}}^5}{f_{\text{eq}}}\;\Bigg( f_1\frac{L_1}{D_1^5} + f_2\frac{L_2}{D_2^5}\Bigg).
Se for admissível aproximar f_1=f_2=f_{\text{eq}}, a expressão simplifica para
L_{\text{eq}} = D_{\text{eq}}^5\!\left(\frac{L_1}{D_1^5}+\frac{L_2}{D_2^5}\right).
Exemplo ilustrativo sob essa hipótese e com D_{\text{eq}}=D_1=0{,}05\\ \text{m}: L_{\text{eq}}\approx119{,}75\\ \text{m}.

Exercícios relacionados