Dois corpos de prova cilíndricos com mesmas dimensões ( D=12 \mathrm{~mm} \mathrm{e} \mathrm{L} \mathrm{=} 150 \mathrm{~mm} ) foram ensaiados. Sendo um de alumínio, e outro de latão. Ambos sofreram um momento de torção de 10 N.m. E os resultados do angulo de torção foram: Alumínio =4,5^{\circ} e o Latão =2,9^{\circ}.
a) Determine o módulo de elasticidade transversal para cada material.
b) Responda, qual dos dois materiais é mais rígido à torção? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá dois cilindros com diâmetro \,D=12\text{ mm} e comprimento \,L=150\text{ mm}, submetidos ao mesmo torque \,T=10\text{ N\cdotm}. Mediu-se o ângulo de torção em alumínio 4{,}5^\circ e em latão 2{,}9^\circ. O objetivo é determinar o módulo de elasticidade transversal \,G para cada material e comparar suas rigidezes à torção. Para isso usamos a teoria de torção de eixos circulares, em que
\theta \;=\;\frac{T\,L}{G\,J}
e o momento polar de inércia de uma seção circular é
J \;=\;\frac{\pi\,D^4}{32}\,.

Passo 2

Calculando J em unidades do SI, convertemos D=12\text{ mm}=12\times10^{-3}\text{ m}. Então
J \;=\;\frac{\pi\,(12\times10^{-3})^4}{32} \;\approx\; 2{,}03\times10^{-9}\;\text{m}^4\,.

Passo 3

Isolamos G da fórmula da torção e lembramos de converter o ângulo de graus para radianos por
\theta_{\rm rad} \;=\;\theta_{\rm (deg)}\;\frac{\pi}{180}\,.
Logo
G \;=\;\frac{T\,L}{J\,\theta_{\rm rad}}\,.

Passo 4

Para o alumínio: \theta_{\rm Al}=4{,}5^\circ
\theta_{\rm Al,rad} =4{,}5\;\frac{\pi}{180}\approx0{,}07854\;\text{rad}.
Substituindo
G_{\rm Al} =\frac{10\;\times0{,}150}{(2{,}03\times10^{-9})\times0{,}07854} \approx9{,}4\times10^{9}\;\text{Pa} \;=\;9{,}4\;\text{GPa}.

Passo 5

Para o latão: \theta_{\rm lat}=2{,}9^\circ
\theta_{\rm lat,rad} =2{,}9\;\frac{\pi}{180}\approx0{,}0506\;\text{rad}.
Substituindo
G_{\rm latão} =\frac{10\;\times0{,}150}{(2{,}03\times10^{-9})\times0{,}0506} \approx14{,}6\times10^{9}\;\text{Pa} \;=\;14{,}6\;\text{GPa}.ã

Passo 6

Comparando os resultados, o latão tem G_{\rm latão}\approx14{,}6\text{ GPa}ã maior do que G_{\rm Al}\approx9{,}4\text{ GPa}. Assim, o latão é mais rígido à torção porque seu módulo de elasticidade transversal é maior.

Resposta

G _\text{Al}\approx9{,}4\text{ GPa}
G _\text{latão}\approx14{,}6\text{ GPa}ã
O latão é mais rígido à torção, pois apresenta maior G.

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