Um eixo sólido deve transmitir um torque de 150 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} sem que a tensão de cisalhamento ultrapasse 60 MPa . Determine: (a) Qual o diâmetro mínimo do eíxo necessário? (b) Se o eixo tiver 600 mm de comprimento e for feito de aço com \mathrm{G}=80 \mathrm{GPa}, qual será o ângulo de torção?

Passo 1

O enunciado fornece um eixo sólido submetido a um torque T=150\\ \mathrm{N\cdot m} e exige que a tensão de cisalhamento não ultrapasse \tau_{\max}=60\\ \mathrm{MPa}. Queremos encontrar (a) o diâmetro mínimo d para satisfazer esse critério e (b) o ângulo de torção \varphi para um comprimento L=600\\ \mathrm{mm} e módulo de cisalhamento G=80\\ \mathrm{GPa}. O conteúdo envolvido é resistência dos materiais (torção de eixos circulares).

Passo 2

Usamos a fórmula da tensão de cisalhamento em torção para seção circular:
\tau_{\max} \;=\;\frac{T\,c}{J}
onde c=d/2 é o raio externo e
J=\frac{\pi\,d^{4}}{32}
é o segundo momento polar de área. Substituindo c e J em \tau_{\max}, obtemos
\tau_{\max} =\frac{T\,(d/2)}{\pi d^4/32} =\frac{16\,T}{\pi\,d^3}.
Isolando d^3:
d^3 = \frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\max}}.

Passo 3

Substituindo T=150\\ \mathrm{N\cdot m} e \tau_{\max}=60\times10^6\\ \mathrm{Pa}:
d^3 =\frac{16\cdot150}{\pi\cdot60\times10^6} =\frac{2400}{\pi\cdot60\times10^6} \approx1{,}2732\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3}.

Passo 4

Extraindo a raiz cúbica:
d = \bigl(1{,}2732\times10^{-5}\bigr)^{1/3} \approx0{,}02336\\ \mathrm{m} =23{,}36\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Para o ângulo de torção usamos
\varphi = \frac{T\,L}{J\,G}.
Já temos
J = \frac{\pi\,d^4}{32} =\frac{\pi\,(0{,}02336)^4}{32} \approx2{,}923\times10^{-8}\\ \mathrm{m^4}.
Então, com L=0{,}6\\ \mathrm{m} e G=80\times10^9\\ \mathrm{Pa}:
\varphi =\frac{150\cdot0{,}6}{2{,}923\times10^{-8}\cdot80\times10^9} \approx0{,}0385\\ \text{rad} \approx2{,}21^\circ.

Resposta

(a) d_{\min}\approx23{,}4\\ \mathrm{mm}.
(b) \varphi\approx0{,}0385\\ \mathrm{rad} (aprox. 2{,}2^\circ).

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