Dois corpos são lançados verticalmente para cima do mesmo ponto e com velocidades iniciais iguais a 30 m/s. O segundo corpo é lançado 3 s depois do primeiro. Determine, com os cálculos, o instante e a posição de encontro e a velocidade dos corpos no instante de encontro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois corpos que são lançados verticalmente para cima do mesmo ponto, ambos com uma velocidade inicial de 30 m/s. O segundo corpo é lançado 3 segundos depois do primeiro. Vamos usar a matéria de cinemática, especificamente as equações do movimento uniformemente acelerado, para descobrir quando e onde eles se encontram, além de suas velocidades nesse instante.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o tempo total desde o lançamento do primeiro corpo como $ t $ segundos. O primeiro corpo é lançado no instante $ t = 0 $, e sua posição em qualquer instante $ t $ é dada pela equação:
t
onde:
  • $ v_0 = 30 , m/s $ (velocidade inicial)
  • $ g = 9,8 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)

Passo 3

O segundo corpo é lançado 3 segundos depois, ou seja, no instante $ t = 3 $ s. Para esse corpo, o tempo de movimento é $ t - 3 $. A posição do segundo corpo é então:
t = 3
Para encontrar o instante em que eles se encontram, igualamos as posições:
t - 3
y2(t) = v0 cdot (t - 3) - 12 g (t - 3)^2

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar $ t $:
t
Simplificando:
30t - 4,9t^2 = 30t - 90 - 4,9(t^2 - 6t + 9)
Cancelando termos iguais dos dois lados:
30t - 4,9t^2 = 30t - 90 - 4,9t^2 + 29,4t - 44,1
0 = -90 + 29,4t - 44,1
29,4t = 134,1

Passo 5

Agora, vamos encontrar a posição de encontro substituindo $ t $ na equação de $ y_1(t) $:
t
Para encontrar as velocidades no instante de encontro, usamos a equação da velocidade:
y1(t)
Para o primeiro corpo:
y1(4,56) = 30 cdot 4,56 - 4,9 cdot (4,56)^2 approx 136,8 - 101,5 approx 35,3 , metros
Para o segundo corpo, com tempo de movimento $ 4,56 - 3 = 1,56 $ s:
v(t) = v0 - g t

Resposta

Os dois corpos se encontram 4,56 segundos após o lançamento do primeiro, na posição 35,3 metros acima do ponto de partida. No instante do encontro, a velocidade do primeiro corpo é de -14,7 m/s (descendo) e a do segundo corpo é de 14,7 m/s (subindo).

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