Dois diapasões produzem 4 batimentos por segundo quando soam juntos. Agora ambos os diapasões são movidos com mesma velocidade u em direção ao observador, de modo que a frequência de batimento nessa situação se torna 5 Hz . Se o observador também começar a correr com velocidade u em direção aos diapasões, que frequência de batimento ele ouvirá?
a) 2 Hz .
b) 3 Hz .
c) 4 Hz .
d) 5 Hz .
e) 6 Hz .

Passo 1

O enunciado nos dá dois diapasões com frequências f_1 e f_2 tais que, para um observador em repouso, o batimento é
|f_1 - f_2| = 4\\ \text{Hz}.
Quando ambos os diapasões movem-se, com velocidade u, em direção ao observador em repouso, o batimento aumenta para 5 Hz. O conteúdo utilizado será o efeito Doppler para fonte móvel e depois para fonte e observador móveis, além da definição de batimento como diferença de frequências percebidas.

Passo 2

Para duas frequências percebidas f'_1 e f'_2, o batimento é
\Delta f' = |f'_1 - f'_2|.
No caso em que só as fontes se movem na direção do observador, o Doppler dá
f'_i = \frac{f_i}{1 - \tfrac{u}{v}},\quad i=1,2,
onde v é a velocidade do som.

Passo 3

Como f'_1 - f'_2 = \dfrac{f_1 - f_2}{1 - \tfrac{u}{v}} e sabemos que esse batimento vale 5 Hz, temos
\frac{4}{1 - \tfrac{u}{v}} = 5.

Passo 4

Da equação \tfrac{4}{1 - \tfrac{u}{v}} = 5 segue
1 - \frac{u}{v} = \frac{4}{5} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{u}{v} = \frac{1}{5}.

Passo 5

Agora, se o observador também corre com u em direção às fontes, a fórmula geral do Doppler para fonte móvel e observador móvel é
f''_i = \frac{v + u}{\,v - u\,}\,f_i,\quad i=1,2.
O batimento percebido então é
\Delta f'' = f''_1 - f''_2 = \frac{v + u}{\,v - u\,}\,(f_1 - f_2) = 4\;\frac{v + u}{\,v - u\,}.

Passo 6

Substituindo \tfrac{u}{v}=\tfrac{1}{5} em \tfrac{v+u}{v-u} obtemos
\frac{v + u}{\,v - u\,} = \frac{1 + \tfrac{1}{5}}{1 - \tfrac{1}{5}} = \frac{\tfrac{6}{5}}{\tfrac{4}{5}} = \frac{6}{4} = \tfrac{3}{2}.
Logo o batimento é
\Delta f'' = 4 \times \frac{3}{2} = 6\\ \text{Hz}.

Resposta

6 Hz.

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