(2,0) Dois eixos (A B - vazado - diâmetro externo 50 mm e diâmetro interno 25 mm , e B C maciço), de aço ( G=77,2 GPa ), são conectados a um disco de acoplamento B e engastados a suportes rígidos em A e C. Para o carregamento mostrado ( 1,4 kN m ), determine (a) a reação em cada suporte, (b) a tensão de cisalhamento máxima no eixo A B, (c) a tensão de cisalhamento máxima no eixo B C.

Passo 1

O enunciado descreve dois eixos de aço (módulo de cisalhamento G=77,2 GPa) unidos em B por um disco de acoplamento e engastados em A e C. O eixo AB é oco, com diâmetro externo do=50 mm e interno di=25 mm; o eixo BC é maciço com diâmetro d=50 mm. Aplica-se um torque motor de 1,4 kNcdotm no acoplamento. Pede-se
(a) reação de torque em cada suporte,
(b) tensão de cisalhamento máxima em AB,
(c) tensão de cisalhamento máxima em BC.
Para resolver usaremos equilíbrio estático de torques e a fórmula da tensão de cisalhamento em torção:
taumax=T,rJ,
onde J é o momento polar de inércia da seção transversal.

Passo 2

Como o único torque aplicado está no ponto B e ambos os engastes em A e C resistem, pelo equilíbrio de torques em torno de B temos
TA + TC = Trm aplicado = 1,4 kNcdotm
Pela simetria (e sem outros carregamentos), cada engaste toma metade do torque, ou seja
TA = TC = 1,42 kNcdotm = 0,7 kNcdotm

Passo 3

Calculamos agora os momentos polares de inércia:
Para o eixo oco AB (diâmetros em mm):
JAB = pi32l(do^4 - di^4r) = pi32l(50^4 - 25^4r),mm^4
Para o eixo maciço BC:
JBC = pi32,d^4 = pi32,50^4,mm^4
Numéricamente:
50^4 = 6,250,000, 25^4 = 390,625,
JAB = pi32(6,250,000 - 390,625)approx 5,75times10^5 mm^4,
JBC = pi32,6,250,000approx 6,14times10^5 mm^4

Passo 4

Usamos taumax=T,r/J. Transformando T=0,7 kNcdotm=700times10^3 Ncdotmm e r=25 mm:
Para AB:
tauAB=700cdot10^3cdot255,75times10^5approx30,4 MPa
Para BC:
tauBC=700cdot10^3cdot256,14times10^5approx28,5 MPa

Resposta

(a) TA = TC = 0,7 kNcdotm
(b) tauAB,maxapprox30,4 MPa
(c) tauBC,maxapprox28,5 MPa

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