(2,0) Um eixo circular cheio de 19 mm de diâmetro é feito de um material elastoplástico com tauE= 138 MPa e G=77,2 GPa. Para um comprimento de 1,2 m do eixo, determine a tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção provocado por um torque de 200 Nm .

Passo 1

O problema trata da torção de um eixo circular maciço de diâmetro (19 mm), comprimento (L=1,2 m) feito de material elastoplástico com tensão de escoamento ao cisalhamento tauE=138 MPa e módulo de cisalhamento G=77,2 GPa. Precisamos calcular a tensão de cisalhamento máxima atuante e o ângulo de torção quando aplicado um torque T=200 N,m. Como T ultrapassa o torque de escoamento, usaremos a teoria de torção elastoplástica parcial para eixos maciços.

Passo 2

Calculamos o raio externo
c=d2=19 mm2=9,5times10^-3 m
e o momento polar de inércia
J=pi d^432=pi(0,019)^432approx1,28times10^-8 m^4
O torque que provoca escoamento na superfície é
Ty=tauE,Jc =138times10^6cdot1,28times10^-89,5times10^-3 approx186 N,m
Como T=200 N,m>Ty, o eixo está em regime elastoplástico parcial.

Passo 3

No regime parcial há um núcleo elástico de raio a e região plástica externa. O torque total é a soma do contributo elástico e plástico:
T =underbracepi G2L,a^4,thetaelástico +underbrace2pitauE3l(c^3-a^3r)plástico áá
Na interface r=a vale
tauE=G,thetaL,a Longrightarrow theta=tauE,LG,a
Substituindo theta no termo elástico e somando ao termo plástico obtém-se
T =pitauE6l(4c^3-a^3r) ;Longrightarrow; a^3=4c^3-6TpitauE
Agora numéricos:
c^3=(9,5times10^-3)^3approx8,57times10^-7 m^3, 6TpitauE =6cdot200picdot138times10^6approx2,77times10^-6 m^3,
a^3 =4cdot8,57times10^-7-2,77times10^-6 approx6,61times10^-7, aapproxraiz[3]6,61times10^-7approx8,7times10^-3 m

Passo 4

Usando theta=tauE L/(G,a) para o cálculo do ângulo de torção:
theta =138times10^6cdot1,277,2times10^9cdot8,7times10^-3 approx0,246 rad approx14,1^circ

Passo 5

Em regime elastoplástico perfeito a tensão de cisalhamento máxima na região plástica é constante e igual à tensão de escoamento:
taumax=tauE=138 MPa

Resposta

Tensão de cisalhamento máxima: 138 MPa
Ângulo de torção: 0,246 rad ( approx 14,1^circ)

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