Um elevador cremalheira de massa 1.200 kg é içado verticalmente a partir do repouso por um motor que aplica uma força variável ao longo da subida. A força aplicada sobre o elevador é dada em função da posição vertical s s (em metros) por: F(s)=(9+0,5 s^2) kN Sabendo que o elevador parte do repouso em s=0, determine a velocidade do elevador quando ele estiver no tercerio pavimento ( s=6 m ) e a quantidade de trabalho realizado pelo motor ao longo desse percurso.

Passo 1

O enunciado dá um elevador de massa m=1200 kg içado verticalmente desde o repouso ( v0=0) até a posição s=6 m por uma força variável
F(s) = l(9 + 0,5,s^2r),kN
Precisamos encontrar a velocidade v em s=6 m e o trabalho realizado pelo motor nesse percurso. Vamos usar o Teorema do Trabalho-Energia: o trabalho da força resultante sobre o elevador é igual à variação de energia cinética.

Passo 2

Calcular o trabalho Wmotor realizado pela força aplicada:
Wmotor = integral0^6 F(s),ds = integral0^6 l(9 + 0,5,s^2r)times 10^3 ,ds
Em bloco:
Wmotor = 10^3[integral0^6 9,ds ;+;integral0^6 0,5,s^2,ds] =10^3l[9cdot6 + 0,5cdottfrac6^33r] =10^3l[54 + 36r] =9,0times10^4 J

Passo 3

Calcular o trabalho da força peso (que se opõe ao movimento), isto é, a variação de energia potencial gravitacional:
Wgrav = m,g,De<a s =1200 times 9,81 times 6 =7,0632times10^4 J

Passo 4

Pelo Teorema Trabalho-Energia:
Wmotor - Wgrav = De<a K = tfrac12,m,v^2 - 0
Isolando v:
tfrac12,m,v^2 = Wmotor - Wgrav Longrightarrow v = raiz2l(Wmotor - Wgravr)m

Passo 5

Substituindo valores numéricos:
Wmotor - Wgrav = 9,0times10^4 - 7,0632times10^4 =1,9368times10^4 J,
v = raiz2times1,9368times10^41200 = raiz32,28 approx5,68 m/s

Resposta

Velocidade em s=6 m: vapprox5,68 m/s
Trabalho realizado pelo motor: Wmotor=9,0times10^4 J

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