(0,5 pt) Dois fios retilíneos longos a e b são paralelos e estão separados por uma distância d=12,0 \mathrm{~cm}. As correntes nos fios são iguais e o campo magnético em um ponto situado exatamente a meio caminho entre os dois fios é 30 \mu \mathrm{~T}. (a) As correntes têm o mesmo sentido ou sentido oposto? Qual o valor das correntes? (b) Qual o módulo da força magnética sobre os fios, devido às correntes, a cada 1,0 \mathrm{~m} de fio condutor? A força é atrativa ou rępulsiva?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas. Informações dadas:
  • Dois fios retilíneos longos a e b são paralelos e separados por uma distância \;d=12{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • As correntes nos fios são iguais em módulo (vou chamar cada corrente de I).
  • O campo magnético no ponto situado exatamente a meio caminho entre os fios (ou seja, a distância até cada fio é d/2) tem módulo 30\\ \mu\mathrm{T} (microtesla).
Perguntas:
(a) As correntes têm o mesmo sentido ou sentido oposto? Qual o valor das correntes I?
(b) Qual o módulo da força magnética entre os fios, devido às correntes, a cada 1{,}0\\ \mathrm{m} de fio condutor? A força é atrativa ou repulsiva?

Passo 2

Relembrando a fórmula do campo magnético de um fio retilíneo longo: para um fio infinito com corrente I, o módulo do campo magnético a uma distância r do fio é dado por
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
Explicação da fórmula:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo e vale \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
  • I é a corrente no fio (em ampères).
  • r é a distância do ponto ao fio (em metros).
    Essa fórmula vem da Lei de Ampère para fios longos e é a expressão padrão que aparece em toda física eletromagnética básica.

Passo 3

Analisando a direção dos campos das duas correntes no ponto médio usando a regra da mão direita: o campo ao redor de um fio circula em torno do fio. Se os dois fios tiverem correntes no mesmo sentido (por exemplo, ambos para cima), então no ponto que fica entre eles os campos produzidos terão sentidos opostos e, por terem módulos iguais (mesma I e mesma distância r), se anulariam, resultando em B_{\text{total}}=0. Como o enunciado dá B_{\text{total}}=30\\ \mu\mathrm{T}\neq0, concluímos que as correntes NÃO estão no mesmo sentido. Logo as correntes têm sentidos opostos; nesse caso os campos no ponto médio têm o mesmo sentido e se somam.

Passo 4

Agora escrevemos o módulo do campo total no ponto médio quando as correntes têm sentidos opostos. Cada fio, a distância r do ponto médio, produz o mesmo módulo
B_{\text{cada}}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},
e como os dois campos têm o mesmo sentido, o campo total é
B_{\text{total}}=2 B_{\text{cada}}=2\cdot\frac{\mu_0 I}{2\pi r}=\frac{\mu_0 I}{\pi r}.
Aqui r=d/2. Substituímos r por d/2 e vamos isolar I.

Passo 5

Expressando I a partir da equação anterior:
B_{\text{total}}=\frac{\mu_0 I}{\pi r}\quad\Longrightarrow\quad I=\frac{B_{\text{total}}\pi r}{\mu_0}.
Agora colocamos r=d/2 e os valores numéricos. Primeiro convertemos d para metros:
d=12{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}12\\ \mathrm{m},\qquad r=\frac{d}{2}=0{,}06\\ \mathrm{m}.
O campo total é B_{\text{total}}=30\\ \mu\mathrm{T}=30\times10^{-6}\\ \mathrm{T}. Substituindo:
I=\frac{(30\times10^{-6}\\ \mathrm{T})\cdot\pi\cdot0{,}06\\ \mathrm{m}}{4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}}.

Passo 6

Cancelamos o \pi e calculamos passo a passo:
I=\frac{30\times10^{-6}\cdot0{,}06}{4\times10^{-7}}\\ \mathrm{A}.
Calcule o numerador:
30\times10^{-6}\cdot0{,}06= (30\cdot0{,}06)\times10^{-6}=1{,}8\times10^{-6}.
Agora a divisão:
I=\frac{1{,}8\times10^{-6}}{4\times10^{-7}}= \frac{1{,}8}{4}\times10^{(-6)-(-7)}=0{,}45\times10^{1}=4{,}5\\ \mathrm{A}.
Portanto cada corrente tem módulo \;I=4{,}5\\ \mathrm{A}. Reafirmando: os sentidos são opostos (conforme passo 3) e o módulo encontrado é 4{,}5\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Agora a força magnética entre dois fios paralelos: a força por unidade de comprimento entre dois fios separados por distância d e com correntes I_1 e I_2 é
\frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}.
Explicação:
  • Essa fórmula é derivada da aplicação da força de Lorentz numa carga em movimento (corrente) situada no campo magnético criado pelo outro fio, e depois usando densidades de corrente para o fio longo; é uma expressão padrão em eletromagnetismo.
  • Se I_1 e I_2 têm o mesmo sentido, a força é atrativa; se têm sentidos opostos, a força é repulsiva.
No nosso caso I_1=I_2=I=4{,}5\\ \mathrm{A} e d=0{,}12\\ \mathrm{m}. Vamos calcular a força sobre 1{,}0\\ \mathrm{m} de fio (ou seja, L=1{,}0\\ \mathrm{m}), então F=(F/L)\cdot L.

Passo 8

Calcule \dfrac{F}{L} numericamente. Usamos \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}. Observação útil: \dfrac{\mu_0}{2\pi}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}=2\times10^{-7}.
Assim
\frac{F}{L}=2\times10^{-7}\cdot\frac{I^2}{d}.
Substituindo I=4{,}5\\ \mathrm{A} e d=0{,}12\\ \mathrm{m}:
\frac{F}{L}=2\times10^{-7}\cdot\frac{(4{,}5)^2}{0{,}12}.
Calcule I^2:
(4{,}5)^2=20{,}25.
Então
\frac{F}{L}=2\times10^{-7}\cdot\frac{20{,}25}{0{,}12}.

Passo 9

Continuando o cálculo:
2\times10^{-7}\cdot\frac{20{,}25}{0{,}12}=2\times10^{-7}\cdot168{,}75=337{,}5\times10^{-7}.
Escrevendo em notação decimal-padrão:
\frac{F}{L}=3{,}375\times10^{-5}\\ \mathrm{N/m}.
Para L=1{,}0\\ \mathrm{m} a força é F=3{,}375\times10^{-5}\\ \mathrm{N}. Arredondando razoavelmente (duas casas significativas dadas as entradas), F\approx3{,}38\times10^{-5}\\ \mathrm{N} por metro.

Passo 10

Determinação do sentido (atração ou repulsão): como concluímos que as correntes têm sentidos opostos (Passo 3), a interação entre correntes opostas é repulsiva. Portanto a força é de repulsão.

Resposta

a) Sentidos opostos; I=4{,}5\\ \mathrm{A}
b) F=3{,}38\times10^{-5}\\ \mathrm{N} por 1{,}0\\ \mathrm{m} de fio, repulsiva

Exercícios relacionados