(0,5 pt) Uma antena na forma de espira, com área de 2,0 \mathrm{~cm}^{2} e uma resistência de 5,0 \mu \Omega, é mantida eerpendicular a um campo magnético uniforme de módulo 60 T . O módulo do campo diminui para zero m 3,0 \mathrm{~s}. Qual é a energia térmica dissipada na espira pela variação do campo magnético?

Passo 1

O enunciado pede a energia térmica dissipada na espira quando o campo magnético uniforme varia de 60\\ \mathrm{T} para 0 em \,3{,}0\\ \mathrm{s}. Informações fornecidas:
  • Área da espira: A=2{,}0\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Resistência da espira: R=5{,}0\\ \mu\Omega.
  • Campo magnético inicial: B_{\text{inicial}}=60\\ \mathrm{T}.
  • Campo magnético final: B_{\text{final}}=0\\ \mathrm{T}.
  • Tempo da variação: \Delta t=3{,}0\\ \mathrm{s}.
  • A espira é mantida perpendicular ao campo (ângulo entre \vec{B} e a normal da espira é 0^\circ).

Passo 2

Vamos organizar unidades e lembrar definição de fluxo magnético. Fluxo magnético \Phi é dado por
\Phi = B\,A\cos\theta,
onde B é o módulo do campo magnético, A é a área da espira e \theta é o ângulo entre \vec{B} e a normal da superfície. Como a espira é perpendicular ao campo, \cos\theta=1 e \Phi=BA.
Converter unidades:
A = 2{,}0\\ \mathrm{cm}^{2} = 2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2},
R = 5{,}0\\ \mu\Omega = 5{,}0\times10^{-6}\\ \Omega.

Passo 3

Pela lei de Faraday, a fem (força eletromotriz) induzida tem módulo
\varepsilon = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = \frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}
(se a variação for aproximadamente uniforme, usamos a razão de diferenças). A variação do fluxo é \Delta\Phi = A\,\Delta B = A(B_{\text{final}}-B_{\text{inicial}})=A(0-60)=-60A, portanto o módulo é |\Delta\Phi|=60A. Assim
\varepsilon = \frac{60\,A}{\Delta t}.
Substituindo A=2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2} e \Delta t=3{,}0\\ \mathrm{s}:
\varepsilon = \frac{60\times 2{,}0\times10^{-4}}{3{,}0} = 20\times 2{,}0\times10^{-4} = 4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{V}.

Passo 4

A corrente induzida tem módulo dado por a lei de Ohm aplicada à espira:
I = \frac{\varepsilon}{R}.
Substituindo os valores:
I = \frac{4{,}0\times10^{-3}}{5{,}0\times10^{-6}} = 8{,}0\times10^{2}\\ \mathrm{A} = 800\\ \mathrm{A}.

Passo 5

A potência térmica dissipada por efeito Joule é
P = I^{2}R.
Também podemos usar P=\dfrac{\varepsilon^{2}}{R} (porque I=\varepsilon/R). Usando a forma com \varepsilon fica mais direto:
P = \frac{(4{,}0\times10^{-3})^{2}}{5{,}0\times10^{-6}}.
Calcule:
(4{,}0\times10^{-3})^{2} = 1{,}6\times10^{-5},
P = \frac{1{,}6\times10^{-5}}{5{,}0\times10^{-6}} = 3{,}2\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Como a fem (e portanto a potência) é constante durante a variação linear do campo, a energia térmica total dissipada é
E = P\,\Delta t.
Substituindo P=3{,}2\\ \mathrm{W} e \Delta t=3{,}0\\ \mathrm{s}:
E = 3{,}2\times 3{,}0 = 9{,}6\\ \mathrm{J}.

Resposta

9{,}6\\ \mathrm{J}

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