Dois geradores trifásicos suprem uma carga com alimentadores diferentes. A carga consome 30 kW com
indutivo e o alimentador que conecta o primeiro gerador a ela tem uma impedância de
. Por sua vez, a impedância da linha que conecta o segundo gerador à carga é
. Se o primeiro gerador fornece 15 kW com um
indutivo com uma tensão de 480 V na saída dos seus terminais, determine a tensão na carga, a tensão nos terminais do segundo gerador,
e a potência fornecida pelo segundo gerador.
[375,7 V, 449,
.
e a potência fornecida pelo segundo gerador.
[375,7 V, 449,
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o enunciado antes de meter a mão na massa.
Temos dois geradores trifásicos alimentando uma carga em paralelo:
Temos dois geradores trifásicos alimentando uma carga em paralelo:
- A carga consome 30 kW com fator de potência 0,8 (indutivo), ou seja Sₗₒₐd=30 kW+jQₗₒₐd.
- O alimentador do gerador 1 (G1) até a carga tem impedância Z₁=1,4+j1,6 Ω.
- O alimentador do gerador 2 (G2) até a carga tem impedância Z₂=0,8+j1,0 Ω.
- O gerador 1 fornece P₁=15 kW a 480 V (linha) com fp=0,8 indutivo, e a gente quer achar:
- a tensão na carga (Vₗₒₐd)
- a tensão nos terminais do segundo gerador (V_G2)
- a potência (complexa) entregue pelo G2 (S₂).
Para resolver isso vamos usar:
- Cálculo de potência reativa e potência aparente;
- Relação tensão–corrente em sistemas trifásicos (S=√3·V·I*);
- Leis de Kirchoff de tensão (V_drop=I·Z) e de potência (soma das potências = potência total).
Passo 2
Primeiro calculemos a potência aparente da carga e do gerador 1.
– Carga:
Pₗₒₐd=30 kW, pfₗₒₐd=0,8 ⇒
φₗₒₐd=arccos(0,8)=36,87°,
Qₗₒₐd=Pₗₒₐd·tanφₗₒₐd=30·tan36,87°≈30·0,75=22,5 kVAr (indutivo),
Sₗₒₐd=30+j22,5 kVA.
– Carga:
Pₗₒₐd=30 kW, pfₗₒₐd=0,8 ⇒
φₗₒₐd=arccos(0,8)=36,87°,
Qₗₒₐd=Pₗₒₐd·tanφₗₒₐd=30·tan36,87°≈30·0,75=22,5 kVAr (indutivo),
Sₗₒₐd=30+j22,5 kVA.
– Gerador 1:
P₁=15 kW, pf₁=0,8 ⇒ φ₁=36,87°,
Q₁=P₁·tanφ₁=15·0,75=11,25 kVAr,
S₁=15+j11,25 kVA.
P₁=15 kW, pf₁=0,8 ⇒ φ₁=36,87°,
Q₁=P₁·tanφ₁=15·0,75=11,25 kVAr,
S₁=15+j11,25 kVA.
Passo 3
Vimos que em trifásico: S=√3·V_LL·I*, logo a corrente que sai do G1 é
I₁= S₁* / (√3·V_G1)
= (15−j11,25)·10³ VA / (√3·480 V)
≈ (15−j11,25)·10³ / 831
≈ 18,04−j13,59 A
⇒ |I₁|=√(18,04²+13,59²)≈22,6 A, ∠I₁=−36,87°.
I₁= S₁* / (√3·V_G1)
= (15−j11,25)·10³ VA / (√3·480 V)
≈ (15−j11,25)·10³ / 831
≈ 18,04−j13,59 A
⇒ |I₁|=√(18,04²+13,59²)≈22,6 A, ∠I₁=−36,87°.
Passo 4
A queda de tensão no alimentador 1 é
ΔV₁ = I₁·Z₁ = (18,04−j13,59)·(1,4+j1,6)
= 47,09 + j9,61 [V]
⇒ |ΔV₁|≈48,05 V, ∠ΔV₁=+11,5°.
ΔV₁ = I₁·Z₁ = (18,04−j13,59)·(1,4+j1,6)
= 47,09 + j9,61 [V]
⇒ |ΔV₁|≈48,05 V, ∠ΔV₁=+11,5°.
Passo 5
Agora a tensão na carga (fase a fase) é
Vₗₒₐd = V_G1 − ΔV₁
= 480∠0° − (47,09 + j9,61)
= (480−47,09) − j9,61
= 432,91 − j9,61 [V]
⇒ |Vₗₒₐd|=√(432,91²+9,61²)≈433,0 V, ∠Vₗₒₐd=−1,27°.
Vₗₒₐd = V_G1 − ΔV₁
= 480∠0° − (47,09 + j9,61)
= (480−47,09) − j9,61
= 432,91 − j9,61 [V]
⇒ |Vₗₒₐd|=√(432,91²+9,61²)≈433,0 V, ∠Vₗₒₐd=−1,27°.
Passo 6
A corrente total da carga é
Iₗₒₐd = conj{Sₗₒₐd·10³/(√3·Vₗₒₐd)}
= (30−j22,5)·10³/(√3·433∠−1,27°)
≈ 40,02−j30,00 A
⇒ |Iₗₒₐd|≈50,0 A, ∠Iₗₒₐd=−36,87°.
Iₗₒₐd = conj{Sₗₒₐd·10³/(√3·Vₗₒₐd)}
= (30−j22,5)·10³/(√3·433∠−1,27°)
≈ 40,02−j30,00 A
⇒ |Iₗₒₐd|≈50,0 A, ∠Iₗₒₐd=−36,87°.
Como Iₗₒₐd = I₁ + I₂ ⇒ I₂ = Iₗₒₐd − I₁
I₂ = (40,02−j30,00) − (18,04−j13,59)
= 21,98 − j16,41 A
⇒ |I₂|=√(21,98²+16,41²)≈27,3 A, ∠I₂≈−36,87°.
I₂ = (40,02−j30,00) − (18,04−j13,59)
= 21,98 − j16,41 A
⇒ |I₂|=√(21,98²+16,41²)≈27,3 A, ∠I₂≈−36,87°.
Passo 7
Agora achamos a tensão nos terminais do gerador 2:
ΔV₂ = I₂·Z₂ = (21,98−j16,41)·(0,8+j1,0)
= 34,00 + j8,85 [V]
Logo
V_G2 = Vₗₒₐd + ΔV₂
= (432,91−j9,61) + (34,00+j8,85)
= 466,91 − j0,76
⇒ |V_G2|=√(466,91²+0,76²)≈466,9 V, ∠V_G2≈−0,09°.
ΔV₂ = I₂·Z₂ = (21,98−j16,41)·(0,8+j1,0)
= 34,00 + j8,85 [V]
Logo
V_G2 = Vₗₒₐd + ΔV₂
= (432,91−j9,61) + (34,00+j8,85)
= 466,91 − j0,76
⇒ |V_G2|=√(466,91²+0,76²)≈466,9 V, ∠V_G2≈−0,09°.
Passo 8
Por fim, a potência fornecida pelo G2 é
S₂ = 3·V_G2·I₂*
= 3·(466,91−j0,76)·(21,98+j16,41)
≈ 30,84 + j22,94 [kVA]
ou seja
P₂≈30,8 kW, Q₂≈22,9 kVAr.
S₂ = 3·V_G2·I₂*
= 3·(466,91−j0,76)·(21,98+j16,41)
≈ 30,84 + j22,94 [kVA]
ou seja
P₂≈30,8 kW, Q₂≈22,9 kVAr.
Resposta
- Tensão na carga (fase a fase): |Vₗₒₐd|≈433,0 V (∠−1,27°)
- Tensão nos terminais do segundo gerador: |V_G2|≈466,9 V (∠−0,09°)
- Potência fornecida pelo segundo gerador: S₂≈30,84 kW + j22,94 kVAr.