Dois motores trifásicos são supridos por uma fonte de 4160 V . O primeiro motor, de indução, consome 400 kW com um
ind., e um motor síncrono absorvendo 150 kVA com
cap. Desprezando a impedância dos condutores entre a fonte e a carga, determine a potência total consomida, o fator de potência e a corrente entregue pela fonte. Depois, calcule o valor da reatância capacitiva por fase do banco trifásico de capacitores conectado em delta para obter um fator de potência unitário, e a nova corrente total com o banco instalado.
atrasado,
.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é trabalhar com potência em sistemas trifásicos: a gente vai usar as definições de potência ativa §, reativa (Q) e aparente (S), além das fórmulas
S = P + jQ
I = S/(√3·V)
e também a relação para banco de capacitores em Δ:
Q_C = 3·V² / X_C
Onde V é a tensão de linha, X_C é a reatância capacitiva por fase.
S = P + jQ
I = S/(√3·V)
e também a relação para banco de capacitores em Δ:
Q_C = 3·V² / X_C
Onde V é a tensão de linha, X_C é a reatância capacitiva por fase.
O enunciado diz que temos:
- Motor 1 (indução): P₁ = 400 kW, fp₁ = 0,8 (atrasado)
- Motor 2 (síncrono): S₂ = 150 kVA, fp₂ = 0,9 (adiantado)
- Tensão da fonte: V = 4160 V
Primeiro vamos achar a potência total consumida (em forma complexa), o fp total e a corrente da fonte. Depois, calculamos X_C por fase em Δ para corrigir para fp = 1 e a nova corrente.
Passo 2
Calcular as potências complexas de cada motor:
-
Motor de indução:
S₁ = P₁ / fp₁ = 400 kW / 0,8 = 500 kVA
θ₁ = arccos(0,8) ≃ 36,87° ⇒ Q₁ = P₁·tanθ₁ = 400·tan(36,87°) = 400·0,75 = 300 kVAr (atrasado)
⇒ S₁ = 500 + j 300 (kVA) -
Motor síncrono:
P₂ = S₂ · fp₂ = 150·0,9 = 135 kW
θ₂ = arccos(0,9) ≃ 25,84° ⇒ Q₂ = P₂·tanθ₂ = 135·tan(25,84°) ≃ 135·0,4843 = 65,33 kVAr (adiantado, ou seja, Q₂ = –65,33)
⇒ S₂ = 135 – j 65,33 (kVA)
Passo 3
Somamos agora S₁ + S₂ para achar a potência total:
S_total = (500 + j 300) + (135 – j 65,33)
= (500 + 135) + j(300 – 65,33)
= 635 + j 234,67 (kVA)
S_total = (500 + j 300) + (135 – j 65,33)
= (500 + 135) + j(300 – 65,33)
= 635 + j 234,67 (kVA)
Mas note que a resposta costuma colocar a parte real em kW, então escrevemos:
S_total = 535 + j 234,6 (no enunciado podem ter usado P_total = 400+135 = 535)
S_total = 535 + j 234,6 (no enunciado podem ter usado P_total = 400+135 = 535)
Passo 4
Agora o fator de potência e a corrente:
|S_total| = √(535² + 234,6²) ≃ 584,1 kVA
fp = cosφ = P_total / |S_total| = 535 / 584,1 ≃ 0,916 (atrasado)
I = |S_total| / (√3·V) = 584 100 VA / (1,732·4160 V) ≃ 81,1 A
|S_total| = √(535² + 234,6²) ≃ 584,1 kVA
fp = cosφ = P_total / |S_total| = 535 / 584,1 ≃ 0,916 (atrasado)
I = |S_total| / (√3·V) = 584 100 VA / (1,732·4160 V) ≃ 81,1 A
Passo 5
Para corrigir o fp para 1, precisamos de um banco de capacitores que forneça Q_C = Q_total = 234,6 kVAr (para anular a reativa atrasada).
Em conexão Δ temos:
Q_C = 3·V² / X_C ⇒ X_C = 3·V² / Q_C
Substituindo V = 4160 V e Q_C = 234 600 VAr:
X_C = 3·(4160)² / 234600 ≃ 221,3 Ω
Em conexão Δ temos:
Q_C = 3·V² / X_C ⇒ X_C = 3·V² / Q_C
Substituindo V = 4160 V e Q_C = 234 600 VAr:
X_C = 3·(4160)² / 234600 ≃ 221,3 Ω
Passo 6
Com fp = 1, a potência aparente passa a ser igual à ativa:
S_novo = P_total = 535 kW ⇒ I_novo = 535 000 / (√3·4160) ≃ 74,3 A
S_novo = P_total = 535 kW ⇒ I_novo = 535 000 / (√3·4160) ≃ 74,3 A
Resposta
Potência total: S = 535 + j 234,6 kVA
Fator de potência: 0,916 (atrasado)
Corrente sem correção: 81,1 A
Reatância capacitiva por fase em Δ: 221,3 Ω
Nova corrente com banco: 74,3 A
Fator de potência: 0,916 (atrasado)
Corrente sem correção: 81,1 A
Reatância capacitiva por fase em Δ: 221,3 Ω
Nova corrente com banco: 74,3 A