Dois grupos diferentes de uma turma de estatística fazem o mesmo teste-surpresa, com as notas relacionadas a seguir. Ache a amplitude e o desvio-padrão para cada grupo. Que conclusões sobre a variação nos dois grupos os valores da amplitude sugerem? Por que razão a amplitude é enganosa neste caso? Que conclusões sobre a variação nos dois grupos o desvio-padrão sugere?
Grupo 1: \quad 1 \quad 20 \quad 20 \quad 20 \quad 20 \quad 20 \quad 20 \quad 20 \quad 20 \quad 20 \quad 20 \begin{array}{llllllllllll}\text { Grupo 2: } & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19\end{array}

Passo 1

O enunciado pede que a gente:
  • Ache a amplitude (range) e o desvio-padrão para cada grupo.
  • Diga que conclusões sobre a variação nos dois grupos os valores da amplitude sugerem.
  • Explique por que a amplitude é enganosa neste caso.
  • Diga que conclusões sobre a variação os valores do desvio-padrão sugerem.
Os dados fornecidos são (vou escrever explicitamente os valores de cada grupo):
\text{Grupo 1: } 1,\;20,\;20,\;20,\;20,\;20,\;20,\;20,\;20,\;20,\;20
\text{Grupo 2: } 2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;14,\;15,\;16,\;17,\;18,\;19
Vou considerar cada grupo com todos os seus elementos (ou seja, trataremos os dados como a população do grupo, e usaremos a fórmula do desvio-padrão populacional).

Passo 2

Definição e cálculo da amplitude (range).
  • A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto. Fórmula:
\text{Amplitude} = \max(x_i) - \min(x_i).
Para os grupos:
  • Para o Grupo 1, \max=20 e \min=1. Logo
\text{Amplitude}_{1}=20-1=19.
  • Para o Grupo 2, \max=19 e \min=2. Logo
\text{Amplitude}_{2}=19-2=17.

Passo 3

Cálculo das médias (muito útil para o desvio-padrão).
  • Definição: a média aritmética de n valores x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
Contando elementos: cada grupo tem n=11 observações.
  • Soma e média do Grupo 1:
\sum x_{\text{G1}} = 1 + 10\cdot 20 = 1 + 200 = 201,
\bar{x}_{1}=\frac{201}{11}.
  • Soma e média do Grupo 2:
\sum x_{\text{G2}} = (2+3+4+5+6) + (14+15+16+17+18+19) = 20 + 99 = 119,
\bar{x}_{2}=\frac{119}{11}.
Se quiser aproximações decimais:
\bar{x}_{1}=\frac{201}{11}\approx 18{,}2727,\qquad \bar{x}_{2}=\frac{119}{11}\approx 10{,}8182.

Passo 4

Definição do desvio-padrão (populacional) e escolha da fórmula.
  • Definição: o desvio-padrão populacional é
\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}.
Aqui n é o número de observações do grupo, x_i cada valor e \bar{x} a média do grupo.
  • Observação prática: é comum calcular a variância usando
\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2
ou, às vezes, pela identidade
\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar{x}^2,
que muitas vezes é mais rápida quando já se conhece \sum x_i^2.
Vou usar a primeira forma com contagem explícita para o Grupo 1 (porque os valores repetem muito) e a segunda forma para o Grupo 2 (porque é fácil somar os quadrados).

Passo 5

Cálculo detalhado do desvio-padrão do Grupo 1.
Valores: um 1 e dez 20. Média \bar{x}_{1}=\dfrac{201}{11}.
  • Calcular os quadrados das diferenças:
1-\bar{x}_{1} = 1 - \frac{201}{11} = -\frac{190}{11},
(1-\bar{x}_{1})^2 = \frac{190^2}{11^2} = \frac{36100}{121}.
20-\bar{x}_{1} = 20 - \frac{201}{11} = \frac{220-201}{11}=\frac{19}{11},
(20-\bar{x}_{1})^2 = \frac{19^2}{11^2} = \frac{361}{121}.
  • Soma dos quadrados das diferenças (um termo para o 1 e dez termos iguais para os 20):
\sum (x_i-\bar{x}_{1})^2 = \frac{36100}{121} + 10\cdot\frac{361}{121} = \frac{36100+3610}{121}=\frac{39710}{121}.
  • Variância (populacional):
\sigma_1^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}_{1})^2 = \frac{1}{11}\cdot\frac{39710}{121}=\frac{39710}{1331}.
  • Desvio-padrão:
\sigma_1=\sqrt{\frac{39710}{1331}}\approx 5{,}463.
(Para a prova: você pode deixar a resposta em forma de raiz ou como aproximação com três casas decimais.)

Passo 6

Cálculo detalhado do desvio-padrão do Grupo 2 usando \sigma^2 = \dfrac{1}{n}\sum x_i^2 - \bar{x}^2.
  • Primeiro calculei \sum x_i^2. Para 2,3,4,5,6 os quadrados somam:
2^2+3^2+4^2+5^2+6^2 = 4+9+16+25+36 = 90.
Para 14,15,16,17,18,19 os quadrados somam (calculei):
14^2+15^2+16^2+17^2+18^2+19^2 = 1651.
Logo
\sum x_i^2 = 90 + 1651 = 1741.
  • Então
\frac{1}{n}\sum x_i^2 = \frac{1741}{11}.
E já tínhamos \bar{x}_{2}=\dfrac{119}{11}, logo
\bar{x}_{2}^2 = \left(\frac{119}{11}\right)^2 = \frac{119^2}{121} = \frac{14161}{121}.
  • Variância:
\sigma_2^2 = \frac{1741}{11} - \frac{14161}{121}.
Para colocar em denominador comum 121:
\frac{1741}{11}=\frac{1741\cdot 11}{121}=\frac{19151}{121},
portanto
\sigma_2^2 = \frac{19151-14161}{121}=\frac{4990}{121}\approx 41{,}2397.
  • Desvio-padrão:
\sigma_2=\sqrt{\frac{4990}{121}}\approx 6{,}421.

Passo 7

Interpretação comparativa e por que a amplitude é enganosa.
  • Amplitudes obtidas: \text{Amplitude}_1=19 e \text{Amplitude}_2=17. A amplitude sugere à primeira vista que o Grupo 1 é um pouco mais disperso (maior intervalo entre mínimo e máximo).
  • Por que isso é enganoso aqui? Porque a amplitude usa apenas os dois valores extremos (máximo e mínimo). No Grupo 1 temos muitos valores concentrados em 20 e apenas um valor atípico baixo ( 1). Essa única observação extrema eleva a amplitude, mesmo que a maioria dos dados esteja muito concentrada. Já o Grupo 2 tem valores espalhados pelo intervalo intermédio (de 2 até 19), então a variação interna é maior mesmo que o máximo e mínimo deem uma amplitude um pouco menor.
  • O desvio-padrão captura a dispersão ao redor da média usando todos os pontos, não só os extremos. Observamos que
\sigma_1\approx 5{,}463,\qquad \sigma_2\approx 6{,}421,
ou seja, o Grupo 2 tem um desvio-padrão maior: isso confirma que, no conjunto completo de observações, o Grupo 2 é realmente mais variado/espalhado ao redor da média do que o Grupo 1. Em resumo: a amplitude favoreceu o Grupo 1 por causa de um outlier extremo, enquanto o desvio-padrão mostrou a dispersão real considerando todos os dados.

Resposta

Amplitude do Grupo 1: \;19
Amplitude do Grupo 2: \;17
Desvio-padrão do Grupo 1 (pop.): \;\sqrt{\dfrac{39710}{1331}}\approx 5{,}463
Desvio-padrão do Grupo 2 (pop.): \;\sqrt{\dfrac{4990}{121}}\approx 6{,}421
Conclusão sobre amplitude: a amplitude sugere que o Grupo 1 é mais disperso ( 19>17).
Por que a amplitude é enganosa: porque depende só dos valores extremos e no Grupo 1 um único valor extremo ( 1) inflou a amplitude apesar da maioria dos valores estar concentrada em 20.
Conclusão pelo desvio-padrão: o Grupo 2 é realmente mais variável (maior desvio-padrão), isto é, seus valores estão mais espalhados em torno da média.

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