Dois grupos diferentes de uma turma de estatística fazem o mesmo teste-surpresa, com as notas relacionadas a seguir. Ache a amplitude e o desvio-padrão para cada grupo. Que conclusões sobre a variação nos dois grupos os valores da amplitude sugerem? Por que razão a amplitude é enganosa neste caso? Que conclusões sobre a variação nos dois grupos o desvio-padrão sugere?
Vou considerar cada grupo com todos os seus elementos (ou seja, trataremos os dados como a população do grupo, e usaremos a fórmula do desvio-padrão populacional).
Passo 2
Definição e cálculo da amplitude (range).
A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto. Fórmula:
\text{Amplitude} = \max(x_i) - \min(x_i).
Para os grupos:
Para o Grupo 1, \max=20 e \min=1. Logo
\text{Amplitude}_{1}=20-1=19.
Para o Grupo 2, \max=19 e \min=2. Logo
\text{Amplitude}_{2}=19-2=17.
Passo 3
Cálculo das médias (muito útil para o desvio-padrão).
Definição: a média aritmética de n valores x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
Contando elementos: cada grupo tem n=11 observações.
que muitas vezes é mais rápida quando já se conhece \sum x_i^2.
Vou usar a primeira forma com contagem explícita para o Grupo 1 (porque os valores repetem muito) e a segunda forma para o Grupo 2 (porque é fácil somar os quadrados).
Passo 5
Cálculo detalhado do desvio-padrão do Grupo 1.
Valores: um 1 e dez 20. Média \bar{x}_{1}=\dfrac{201}{11}.
Interpretação comparativa e por que a amplitude é enganosa.
Amplitudes obtidas: \text{Amplitude}_1=19 e \text{Amplitude}_2=17. A amplitude sugere à primeira vista que o Grupo 1 é um pouco mais disperso (maior intervalo entre mínimo e máximo).
Por que isso é enganoso aqui? Porque a amplitude usa apenas os dois valores extremos (máximo e mínimo). No Grupo 1 temos muitos valores concentrados em 20 e apenas um valor atípico baixo (1). Essa única observação extrema eleva a amplitude, mesmo que a maioria dos dados esteja muito concentrada. Já o Grupo 2 tem valores espalhados pelo intervalo intermédio (de 2 até 19), então a variação interna é maior mesmo que o máximo e mínimo deem uma amplitude um pouco menor.
O desvio-padrão captura a dispersão ao redor da média usando todos os pontos, não só os extremos. Observamos que
ou seja, o Grupo 2 tem um desvio-padrão maior: isso confirma que, no conjunto completo de observações, o Grupo 2 é realmente mais variado/espalhado ao redor da média do que o Grupo 1. Em resumo: a amplitude favoreceu o Grupo 1 por causa de um outlier extremo, enquanto o desvio-padrão mostrou a dispersão real considerando todos os dados.
Resposta
Amplitude do Grupo 1: \;19
Amplitude do Grupo 2: \;17
Desvio-padrão do Grupo 1 (pop.): \;\sqrt{\dfrac{39710}{1331}}\approx 5{,}463
Desvio-padrão do Grupo 2 (pop.): \;\sqrt{\dfrac{4990}{121}}\approx 6{,}421
Conclusão sobre amplitude: a amplitude sugere que o Grupo 1 é mais disperso (19>17).
Por que a amplitude é enganosa: porque depende só dos valores extremos e no Grupo 1 um único valor extremo (1) inflou a amplitude apesar da maioria dos valores estar concentrada em 20.
Conclusão pelo desvio-padrão: o Grupo 2 é realmente mais variável (maior desvio-padrão), isto é, seus valores estão mais espalhados em torno da média.