Se considerarmos os valores
como uma população, o desvio-padrão pode ser calculado pela fórmula
Esta fórmula é equivalente à Fórmula
, modificada pela divisão por
em lugar de
, onde o conjunto de dados consiste nos valores
.
Ache uma expressão para o cálculo do desvio-padrão amostral
para os valores amostrais
.
Ache uma expressão para o cálculo do desvio-padrão amostral
Passo 1
O enunciado pede uma expressão para o desvio-padrão amostral
quando os valores amostrais são
.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Foi dada a fórmula do desvio-padrão da população para esses valores:
. - Precisamos achar a fórmula do desvio-padrão amostral
(ou seja, usando a divisão por na variância) quando a amostra é exatamente os números . - Vamos considerar
(para que não seja zero).
Passo 2
Recorde (fórmula que vamos usar): o desvio-padrão amostral
é a raiz quadrada da variância amostral
, dada por
onde
é a média amostral e
são os valores da amostra. Aqui
para
. Vou explicar cada peça dessa fórmula:
é a média aritmética dos
valores; a soma
mede a dispersão em relação à média; e dividimos por
porque é a variância amostral não-viesada.
Passo 3
Calcule a média amostral
dos números
. A soma dos primeiros
inteiros é
, então
Explicação rápida: a média de uma sequência aritmética igualmente espaçada é o ponto médio, aqui
.
Passo 4
Precisamos da soma dos quadrados
. A fórmula conhecida (pode ser provada por indução ou somas) é
Vou usar essa expressão diretamente; se quiser posso mostrar a prova por indução depois, mas aqui consideramos-a como fato já estabelecido.
Passo 5
Use a identidade algébrica útil
Explicação dessa identidade: expandindo
e somando sobre
obtemos
. Como
, o termo do meio vira
, e somado com
dá
, resultando na identidade acima.
Passo 6
Substitua as fórmulas conhecidas na expressão da soma das diferenças ao quadrado:
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro escrevemos o segundo termo como
Colocando tudo sobre um denominador comum, factoramos
:
Calcule o parêntese com denominador
:
Logo
Observação:
, então também podemos escrever
.
Passo 7
Agora a variância amostral
é a soma acima dividida por
:
Cancelamos o fator
no numerador com o denominador:
válido para
.
Passo 8
Finalmente, tomamos raiz quadrada para obter o desvio-padrão amostral
:
Pequeno lembrete prático para a prova: memorize que a variância amostral dos números
a
é
(e a população é
), assim você só aplica a raiz.