Se considerarmos os valores 1,2,3, \ldots, n como uma população, o desvio-padrão pode ser calculado pela fórmula
\sigma=\sqrt{\frac{n^{2}-1}{12}}
Esta fórmula é equivalente à Fórmula 2-4, modificada pela divisão por n em lugar de n-1, onde o conjunto de dados consiste nos valores 1,2,3, \ldots, n.
Ache uma expressão para o cálculo do desvio-padrão amostral s para os valores amostrais 1,2,3, \ldots, n.

Passo 1

O enunciado pede uma expressão para o desvio-padrão amostral s quando os valores amostrais são 1,2,3,\ldots,n.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Foi dada a fórmula do desvio-padrão da população para esses valores: \sigma=\sqrt{\dfrac{n^{2}-1}{12}}.
  • Precisamos achar a fórmula do desvio-padrão amostral s (ou seja, usando a divisão por n-1 na variância) quando a amostra é exatamente os números 1,2,\ldots,n.
  • Vamos considerar n\ge 2 (para que n-1 não seja zero).

Passo 2

Recorde (fórmula que vamos usar): o desvio-padrão amostral s é a raiz quadrada da variância amostral s^{2}, dada por
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}-\bar{x}\bigr)^{2},
onde \bar{x} é a média amostral e x_{i} são os valores da amostra. Aqui x_{i}=i para i=1,\ldots,n. Vou explicar cada peça dessa fórmula: \bar{x} é a média aritmética dos n valores; a soma \sum (x_{i}-\bar{x})^{2} mede a dispersão em relação à média; e dividimos por n-1 porque é a variância amostral não-viesada.

Passo 3

Calcule a média amostral \bar{x} dos números 1,2,\ldots,n. A soma dos primeiros n inteiros é \dfrac{n(n+1)}{2}, então
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}i=\frac{1}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2}.
Explicação rápida: a média de uma sequência aritmética igualmente espaçada é o ponto médio, aqui \dfrac{1+n}{2}.

Passo 4

Precisamos da soma dos quadrados \sum_{i=1}^{n}i^{2}. A fórmula conhecida (pode ser provada por indução ou somas) é
\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Vou usar essa expressão diretamente; se quiser posso mostrar a prova por indução depois, mas aqui consideramos-a como fato já estabelecido.

Passo 5

Use a identidade algébrica útil
\sum_{i=1}^{n}\bigl(i-\bar{x}\bigr)^{2}=\sum_{i=1}^{n}i^{2}-n\bar{x}^{2}.
Explicação dessa identidade: expandindo (i-\bar{x})^{2}=i^{2}-2i\bar{x}+\bar{x}^{2} e somando sobre i obtemos \sum i^{2}-2\bar{x}\sum i + n\bar{x}^{2}. Como \sum i = n\bar{x}, o termo do meio vira -2\bar{x}\cdot n\bar{x}=-2n\bar{x}^{2}, e somado com n\bar{x}^{2} -n\bar{x}^{2}, resultando na identidade acima.

Passo 6

Substitua as fórmulas conhecidas na expressão da soma das diferenças ao quadrado:
\sum_{i=1}^{n}\bigl(i-\bar{x}\bigr)^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-n\left(\frac{n+1}{2}\right)^{2}.
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro escrevemos o segundo termo como
n\left(\frac{n+1}{2}\right)^{2}=n\cdot\frac{(n+1)^{2}}{4}.
Colocando tudo sobre um denominador comum, factoramos n(n+1):
\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}\bigl(i-\bar{x}\bigr)^{2} &=n(n+1)\left(\frac{2n+1}{6}-\frac{n+1}{4}\right). \end{aligned}
Calcule o parêntese com denominador 12:
\frac{2n+1}{6}-\frac{n+1}{4}=\frac{2(2n+1)-3(n+1)}{12}=\frac{4n+2-3n-3}{12}=\frac{n-1}{12}.
Logo
\sum_{i=1}^{n}\bigl(i-\bar{x}\bigr)^{2}=n(n+1)\cdot\frac{n-1}{12}=\frac{n(n+1)(n-1)}{12}.
Observação: (n+1)(n-1)=n^{2}-1, então também podemos escrever \dfrac{n(n^{2}-1)}{12}.

Passo 7

Agora a variância amostral s^{2} é a soma acima dividida por n-1:
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(i-\bar{x}\bigr)^{2} =\frac{1}{n-1}\cdot\frac{n(n+1)(n-1)}{12}.
Cancelamos o fator (n-1) no numerador com o denominador:
s^{2}=\frac{n(n+1)}{12},
válido para n\ge 2.

Passo 8

Finalmente, tomamos raiz quadrada para obter o desvio-padrão amostral s:
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{\frac{n(n+1)}{12}}.
Pequeno lembrete prático para a prova: memorize que a variância amostral dos números 1 a n é \dfrac{n(n+1)}{12} (e a população é \dfrac{n^{2}-1}{12}), assim você só aplica a raiz.

Resposta

s=\sqrt{\frac{n(n+1)}{12}}

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