Dois líquidos diferentes encontra-se em recipientes idênticos e têm taxas de evaporação constantes. O líquido I encontra-se inicialmente em um nível de 100 mm e evapora-se completamente no quadragésimo dia. O líquido II inicialmente com nível de 80 mm evapora-se completamente no quadragésimo oitavo dia. Determinar, antes da evaporação completa de ambos, ao final de qual dia os líquidos terão o mesmo nível (em mm ) nesses mesmos recipientes.
a) 10^{\circ} \mathrm{dia}
b) 14^{\circ} \mathrm{dia}
c) 18^{\circ} dia
d) 20^{\circ} dia
e) 24^{\circ} dia

Passo 1

O enunciado fornece os dois líquidos em recipientes idênticos e pede em que dia (antes da evaporação completa) os níveis serão iguais. Dados relevantes:
  • Líquido I: nível inicial 100 mm; evapora-se completamente no 40º dia.
  • Líquido II: nível inicial 80 mm; evapora-se completamente no 48º dia.
    O que se pede: determinar, antes da evaporação completa, ao final de qual dia os dois líquidos terão o mesmo nível (em mm) nos recipientes.

Passo 2

Modelo físico / matemático (explicação didática): “taxa de evaporação constante” significa que a altura do líquido decresce de forma linear com o tempo — isto é, por dia perde sempre a mesma quantidade. Podemos escrever para cada líquido uma função linear que dá o nível L em função do tempo t (em dias desde o início):
L(t)=L_0 - r\,t,
onde L_0 é o nível inicial (em mm) e r é a taxa de evaporação (em mm/dia). Aqui t é contado desde o começo (o 1º dia, 2º dia, …); vamos tratar t como número real, e depois observamos se a solução cai exatamente num dia inteiro das opções.

Passo 3

Calcular as taxas de evaporação usando “evapora-se completamente em T dias” implica r = \dfrac{L_0}{T}.
  • Para o líquido I:
r_1=\frac{100}{40}=\frac{5}{2}=\;2{,}5\\ \text{mm/dia}.
  • Para o líquido II:
r_2=\frac{80}{48}=\frac{5}{3}\approx1{,}6\overline{6}\\ \text{mm/dia}.
Expliquei: dividi o nível inicial pelo número de dias até desaparecer para obter quantos mm se perdem por dia.

Passo 4

Procuramos t tal que os níveis sejam iguais:
100 - r_1 t = 80 - r_2 t.
Isolando t:
100-80=(r_1-r_2)t \quad\Rightarrow\quad 20=(r_1-r_2)t.

Passo 5

Calcular r_1-r_2 e resolver para t:
r_1-r_2=\frac{5}{2}-\frac{5}{3}=\frac{5}{6}.
Portanto
t=\frac{20}{\,\dfrac{5}{6}\,}=20\cdot\frac{6}{5}=4\cdot6=24.

Passo 6

Verificação (sempre bom conferir): calcular os níveis no 24º dia.
L_1(24)=100-\frac{5}{2}\cdot24=100-60=40\\ \text{mm},
L_2(24)=80-\frac{5}{3}\cdot24=80-40=40\\ \text{mm}.
Ambos têm 40 mm no final do 24º dia, e ainda não evaporaram completamente (40 > 0), então a solução está consistente.

Resposta

e) 24^{\circ}\\ \text{dia}

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