Dois líquidos diferentes encontra-se em recipientes idênticos e têm taxas de evaporação constantes. O líquido I encontra-se inicialmente em um nível de 100 mm e evapora-se completamente no quadragésimo dia. O líquido II inicialmente com nível de 80 mm evapora-se completamente no quadragésimo oitavo dia. Determinar, antes da evaporação completa de ambos, ao final de qual dia os líquidos terão o mesmo nível (em mm ) nesses mesmos recipientes.
a)
b)
c)
dia
d)
dia
e)
dia
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado fornece os dois líquidos em recipientes idênticos e pede em que dia (antes da evaporação completa) os níveis serão iguais. Dados relevantes:
- Líquido I: nível inicial
mm; evapora-se completamente no º dia. - Líquido II: nível inicial
mm; evapora-se completamente no º dia.
O que se pede: determinar, antes da evaporação completa, ao final de qual dia os dois líquidos terão o mesmo nível (em mm) nos recipientes.
Passo 2
Modelo físico / matemático (explicação didática): “taxa de evaporação constante” significa que a altura do líquido decresce de forma linear com o tempo — isto é, por dia perde sempre a mesma quantidade. Podemos escrever para cada líquido uma função linear que dá o nível
em função do tempo
(em dias desde o início):
onde
é o nível inicial (em mm) e
é a taxa de evaporação (em mm/dia). Aqui
é contado desde o começo (o
º dia,
º dia, …); vamos tratar
como número real, e depois observamos se a solução cai exatamente num dia inteiro das opções.
Passo 3
Calcular as taxas de evaporação usando “evapora-se completamente em
dias” implica
.
- Para o líquido I:
- Para o líquido II:
Expliquei: dividi o nível inicial pelo número de dias até desaparecer para obter quantos mm se perdem por dia.
Passo 4
Procuramos
tal que os níveis sejam iguais:
Isolando
:
Passo 5
Calcular
e resolver para
:
Portanto
Passo 6
Verificação (sempre bom conferir): calcular os níveis no
º dia.
Ambos têm
mm no final do
º dia, e ainda não evaporaram completamente (40 > 0), então a solução está consistente.
Resposta
e)