Dois metros cúbicos e meio de solo úmido têm a massa de 5 t . O teor de umidade é de 12 \%. Supondo-se que a massa específica dos sólidos é 2,70 \mathrm{t} / \mathrm{m}^{3}, determine:
a) Massa de água e sólidos, volumes de água, ar, vazios e total;
b) Índice de vazios;
c) Porosidade (%);
d) Massa específica seca.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Volume total de solo úmido: V = 2,5\\ \mathrm{m}^{3}.
    • Massa total do solo úmido: M_\text{total} = 5{,}0\\ \mathrm{t}.
    • Teor de umidade (teor de água): w = 12\%. Ou seja w=0{,}12.
    • Massa específica dos sólidos (densidade dos grãos): \rho_{s}=2{,}70\\ \mathrm{t}/\mathrm{m}^{3}.
  • O enunciado pede:
    a) Massa da água e massa dos sólidos; volumes da água, do ar, dos vazios e o volume total;
    b) Índice de vazios e (razão entre volume de vazios e volume de sólidos);
    c) Porosidade n (em %);
    d) Massa específica seca (densidade seca) \rho_{d}.

Passo 2

Entender e usar corretamente o conceito de teor de umidade w.
  • Definição usada aqui (convencional em mecânica dos solos): w é a razão entre a massa de água e a massa de sólidos:
w=\frac{M_{w}}{M_{s}}.
  • A massa total do solo úmido é a soma das massas de sólidos e de água:
M_{\text{total}} = M_{s}+M_{w}.
  • Substituindo M_{w}=w M_{s} temos
M_{\text{total}}=(1+w)\,M_{s}.
  • Isolando M_{s}:
M_{s}=\frac{M_{\text{total}}}{1+w}.
Agora calculamos numericamente usando M_{\text{total}}=5{,}0\\ \mathrm{t} e w=0{,}12:
M_{s}=\frac{5{,}0}{1{,}12}=\frac{5}{1{,}12}= \frac{125}{28}\\ \mathrm{t}\approx 4{,}4643\\ \mathrm{t}.
Em seguida a massa de água:
M_{w}=M_{\text{total}}-M_{s}=5{,}0- \frac{125}{28}=\frac{15}{28}\\ \mathrm{t}\approx 0{,}5357\\ \mathrm{t}.

Passo 3

Calcular volumes de sólidos e de água a partir das massas e das densidades.
  • Volume dos sólidos V_{s} é a massa dos sólidos dividida pela massa específica dos sólidos:
V_{s}=\frac{M_{s}}{\rho_{s}}.
Substituindo M_{s}=\dfrac{125}{28}\\ \mathrm{t} e \rho_{s}=2{,}70=\dfrac{27}{10}\\ \mathrm{t}/\mathrm{m}^{3}:
V_{s}=\frac{\tfrac{125}{28}}{\tfrac{27}{10}}=\frac{125}{28}\cdot\frac{10}{27}=\frac{1250}{756}=\frac{625}{378}\\ \mathrm{m}^{3}\approx 1{,}6534\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Volume da água V_{w}: usa-se a massa da água e a densidade da água ( \rho_{w}\approx 1{,}00\\ \mathrm{t}/\mathrm{m}^{3}):
V_{w}=\frac{M_{w}}{\rho_{w}}=\frac{\tfrac{15}{28}}{1}=\frac{15}{28}\\ \mathrm{m}^{3}\approx 0{,}5357\\ \mathrm{m}^{3}.
Observação rápida (prática de prova): toda massa em toneladas e densidade em \mathrm{t}/\mathrm{m}^3 deixa volumes em \mathrm{m}^3 diretamente, o que facilita as contas.

Passo 4

Calcular volume de vazios e volume de ar.
  • Definição: volume de vazios V_{v} é a diferença entre o volume total e o volume dos sólidos:
V_{v}=V-V_{s}.
Usando V=2{,}5\\ \mathrm{m}^{3} e V_{s}=\dfrac{625}{378}\\ \mathrm{m}^{3}:
V_{v}=2{,}5-\frac{625}{378}=\frac{5}{2}-\frac{625}{378}=\frac{160}{189}\\ \mathrm{m}^{3}\approx 0{,}8466\\ \mathrm{m}^{3}.
  • O volume de ar V_{a} é a parte dos vazios que não está ocupada por água:
V_{a}=V_{v}-V_{w}.
Substituindo valores:
V_{a}=\frac{160}{189}-\frac{15}{28}\approx 0{,}8466-0{,}5357\approx 0{,}3108\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Observação: o volume total V já foi dado e vale 2{,}5\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 5

Calcular o índice de vazios e e entender o que ele significa.
  • Definição: índice de vazios e é a razão entre o volume de vazios e o volume de sólidos:
e=\frac{V_{v}}{V_{s}}.
Substituindo as frações exatas:
e=\frac{\tfrac{160}{189}}{\tfrac{625}{378}}=\frac{160}{189}\cdot\frac{378}{625}=\frac{320}{625}=\frac{32}{62{,}5}=0{,}512.
Logo e=0{,}512 (valor adimensional).
Comentário prático: e indica quantos metros cúbicos de vazios existem por metro cúbico de sólidos; aqui há cerca de 0{,}512\\ \mathrm{m}^3 de vazios por 1\\ \mathrm{m}^3 de sólidos.

Passo 6

Calcular a porosidade n (fração de vazios no volume total) e apresentar em porcentagem.
  • Definição:
n=\frac{V_{v}}{V}.
Substituindo valores:
n=\frac{\tfrac{160}{189}}{2{,}5}=\frac{160}{189}\cdot\frac{2}{5}=\frac{320}{945}=\frac{64}{189}\approx 0{,}338624\ldots
  • Em porcentagem:
n\approx 0{,}338624\cdot100\% \approx 33{,}86\%.
Breve interpretação: cerca de 33,9% do volume total do solo é espaço vazio (água + ar).

Passo 7

Calcular a massa específica seca \rho_{d} e explicar o conceito.
  • Definição: massa específica seca (ou densidade seca) \rho_{d} é a massa de sólidos por unidade de volume total (massa do solo sem a água contida por volume total):
\rho_{d}=\frac{M_{s}}{V}.
Substituindo M_{s}=\dfrac{125}{28}\\ \mathrm{t} e V=2{,}5\\ \mathrm{m}^{3}:
\rho_{d}=\frac{\tfrac{125}{28}}{2{,}5}=\frac{125}{28}\cdot\frac{2}{5}=\frac{25}{14}\\ \mathrm{t}/\mathrm{m}^{3}\approx 1{,}7857\\ \mathrm{t}/\mathrm{m}^{3}.
Comentário de ânimo: pronto — conseguimos todos os números com contas simples e interpretações físicas. Dá para fazer isso na prova passo a passo sem pânico!

Resposta

a) M_{s}=4{,}4643\\ \mathrm{t},\quad M_{w}=0{,}5357\\ \mathrm{t}
V_{s}=1{,}6534\\ \mathrm{m}^{3},\quad V_{w}=0{,}5357\\ \mathrm{m}^{3},\quad V_{a}=0{,}3108\\ \mathrm{m}^{3},\quad V_{v}=0{,}8466\\ \mathrm{m}^{3},\quad V=2{,}5\\ \mathrm{m}^{3}
b) e=0{,}512
c) n=33{,}86\%
d) \rho_{d}=1{,}7857\\ \mathrm{t}/\mathrm{m}^{3}

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