Dois moles de gás ideal, a 35^{\circ} \mathrm{C} e 2 atm, realizam uma expansão na qual o seu volume duplica. Determine o trabalho que pode ser realizado, considerando C_{V, m}=29,3 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1} e a expansão:
adiabática e realizada contra uma pressão extema constante e igual à pressão final do gás.

Passo 1

O enunciado dá um gás ideal com n=2 mol, T_{1}=35^{\circ}\mathrm{C}=308\\ \mathrm{K} e P_{1}=2\\ \mathrm{atm}=2{,}026\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. O volume inicial é
V_{1}=\frac{nR\,T_{1}}{P_{1}}
e o volume final é V_{2}=2V_{1}. Vamos calcular o trabalho W em dois casos:
  1. expansão adiabática reversível,
  2. expansão adiabática irreversível contra pressão externa constante P_{\mathrm{ext}}=P_{2} (pressão final do gás).

Passo 2

Cálculo do trabalho na expansão adiabática reversível.
Primeiro obtemos \gamma e a temperatura final T_{2,\mathrm{rev}} usando
\gamma=\frac{C_{V,m}+R}{C_{V,m}}, \quad T_{2,\mathrm{rev}}=T_{1}\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\gamma-1}.
Com C_{V,m}=29{,}3\\ \mathrm{J\,K^{-1}mol^{-1}} e R=8{,}314\\ \mathrm{J\,K^{-1}mol^{-1}} achamos
\gamma=\frac{29{,}3+8{,}314}{29{,}3}\approx1{,}284, \quad T_{2,\mathrm{rev}}=308\,(1/2)^{0{,}284}\approx253\\ \mathrm{K}.
O trabalho do gás (positivo se realizado pelo gás) é
W_{\mathrm{rev}} =n\,C_{V,m}\,(T_{1}-T_{2,\mathrm{rev}}) =2\cdot29{,}3\,(308-253)\approx3{,}23\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Cálculo do trabalho na expansão adiabática irreversível contra P_{\mathrm{ext}}=P_{2}.
Para esse processo:
Q=0,\quad \Delta U=-W,\quad \Delta U=n\,C_{V,m}\,(T_{2}-T_{1}).
Como P_{2}=P_{\mathrm{ext}} e o gás é ideal,
P_{2}V_{2}=nR\,T_{2} \;\Longrightarrow\; P_{\mathrm{ext}}=\frac{nR\,T_{2}}{V_{2}}.
O trabalho é
W =P_{\mathrm{ext}}\,(V_{2}-V_{1}) =\frac{nR\,T_{2}}{V_{2}}\,(V_{2}-V_{1}) =nR\,T_{2}\Bigl(1-\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr).
Da energia interna \Delta U=-W segue
n\,C_{V,m}\,(T_{2}-T_{1}) =-\,nR\,T_{2}\Bigl(1-\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr).
Isolando T_{2}:
T_{2} =\frac{C_{V,m}\,T_{1}} {C_{V,m}+R\bigl(1-\tfrac{V_{1}}{V_{2}}\bigr)} \quad\text{com}\quad \frac{V_{1}}{V_{2}}=\tfrac12,
T_{2} =\frac{29{,}3\cdot308}{29{,}3+8{,}314\cdot0{,}5} \approx269{,}6\\ \mathrm{K}.
Finalmente
W_{\mathrm{irrev}} =nR\,T_{2}\Bigl(1-\frac{1}{2}\Bigr) =2\cdot8{,}314\cdot269{,}6\cdot0{,}5 \approx2{,}25\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Resposta

W_{\mathrm{rev}}\approx3{,}23\times10^{3}\\ \mathrm{J} W_{\mathrm{irrev}}\approx2{,}25\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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