Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade M=25 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} são aplicados à viga A B constituída de um perfil U. Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no
ponto C

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (os comprimentos foram retirados da figura):
  • Dois momentos fletores iguais e opostos com intensidade \,M=25\\ \text{kN}\cdot\text{m}\, agem na viga, fazendo-a flexionar num plano horizontal.
  • Geometria do perfil (valores extraídos da imagem):
    • Altura total: \,180\\ \text{mm}\,.
    • Largura do flange (projeção horizontal do flange): \,120\\ \text{mm}\,.
    • Espessura dos flanges (superior e inferior): \,30\\ \text{mm}\, (cada).
    • Espessura do corpo vertical (web): \,36\\ \text{mm}\,.
  • Ponto onde se pede a tensão: o ponto C, localizado na face externa esquerda do topo do perfil (ou seja, o ponto mais à esquerda do topo).
O que o problema pede:
  • Determinar a tensão normal (tensão de flexão) no ponto C ocasionada pelo momento \,M.

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar (explicados devagarinho):
  • Fórmula da flexão simples (para flexão pura, plano de corte pequeno, materiais lineares):
    \sigma = -\dfrac{M\,x}{I}
    onde:
    • \sigma é a tensão normal na fibra a uma distância x do eixo neutro (positiva se tração, negativa se compressão, conforme convenção escolhida);
    • M é o momento fletor em torno do eixo neutro (no nosso caso: eixo vertical que passa pelo centro da seção, pois a viga flexiona em plano horizontal);
    • x é a distância (em metros) do centroide da seção até o ponto onde queremos a tensão (no nosso caso, distância horizontal do centroide até C);
    • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (eixo vertical centroidal).
  • Como o perfil é composto por retângulos (web + 2 flanges), vamos usar área equivalente e o teorema dos eixos paralelos:
    I_{\text{total}}=\sum\left(I_{\text{centro\_local}} + A\,d^{2}\right)
    onde:
    • I_{\text{centro\_local}} é o momento de inércia do retângulo em torno do seu eixo vertical que passa pelo seu próprio centro;
    • A é a área do retângulo;
    • d é a distância entre o centro do retângulo e o centroide da seção composta (medida horizontal, já que o eixo neutro é vertical).
  • Momento de inércia de um retângulo (em relação ao eixo vertical que passa pelo seu centro):
    I_y=\dfrac{h\,b^{3}}{12}
    onde b é a largura na direção horizontal (dimensão que contribui para x^2) e h é a altura (dimensão na direção vertical).
Vamos aplicar essas fórmulas passo a passo: primeiro achar o centroide horizontal da seção (posição do eixo neutro), depois calcular I da seção em torno desse eixo, depois usar \sigma = -M x / I.

Passo 3

Definir as áreas e as posições dos centros (todas as medidas em \text{mm} neste passo; depois convertaremos para metros para obter tensão em \text{Pa}).
  • Web (retângulo vertical):
    • largura horizontal (espessura) b_w=36\\ \text{mm},
    • altura h_w=180\\ \text{mm},
    • área A_w = b_w h_w = 36\cdot180 = 6480\\ \text{mm}^2.
    • posição do centro do web, medida a partir da face esquerda da web: \,x_w=\dfrac{b_w}{2}=\dfrac{36}{2}=18\\ \text{mm}.
  • Flange superior (retângulo horizontal):
    • largura horizontal (projeção) b_f=120\\ \text{mm},
    • espessura (altura vertical) h_f=30\\ \text{mm},
    • área A_f = b_f h_f = 120\cdot30 = 3600\\ \text{mm}^2.
    • posição do centro do flange (medida a partir da face esquerda da web): a flange está à direita da web, então x_f = b_w + \frac{b_f}{2} = 36 + 60 = 96\\ \text{mm}.
  • Flange inferior: idêntico ao flange superior (mesma A_f e mesma x_f).

Passo 4

Calcular a posição do centroide horizontal da seção composta \bar{x} (medida a partir da face esquerda da web):
\bar{x}=\dfrac{A_w x_w + A_f x_f + A_f x_f}{A_w + A_f + A_f}.
Substituindo números:
\bar{x}=\dfrac{6480\cdot 18 + 3600\cdot 96 + 3600\cdot 96}{6480 + 3600 + 3600}.
Calculemos numericamente:
\text{numerador}=6480\cdot18 + 2\cdot (3600\cdot96)=116640 + 691200 = 807840,
\text{denominador}=6480 + 7200 = 13680.
\bar{x}=\dfrac{807840}{13680}\approx 59{,}11\\ \text{mm}.
Assim, o eixo neutro vertical passa a 59{,}11\\ \text{mm} da face esquerda da web; a distância horizontal do centroide até o ponto C (que está na face esquerda, na coordenada x=0) é
x_C = 0 - \bar{x} = -59{,}11\\ \text{mm},
ou seja, a magnitude da distância é |x_C|=59{,}11\\ \text{mm}.

Passo 5

Calcular o momento de inércia I da seção em relação ao eixo vertical que passa pelo centroide ( I_{\bar{x}}), usando o teorema dos eixos paralelos.
Primeiro, momentos de inércia das peças em torno de seus próprios eixos centrais (eixo vertical pelo centro do retângulo):
  • Web (retângulo largura b_w, altura h_w): I_{y,w}=\dfrac{h_w\,b_w^{3}}{12}=\dfrac{180\cdot 36^{3}}{12}.Calculando: 36^{3}=46656,\qquad 180\cdot46656=8\,398\,080,
I_{y,w}=\dfrac{8\,398\,080}{12}=699\,840\\ \text{mm}^4.
  • Cada flange: I_{y,f}=\dfrac{h_f\,b_f^{3}}{12}=\dfrac{30\cdot 120^{3}}{12}.Calculando: 120^{3}=1\,728\,000,\qquad 30\cdot1\,728\,000=51\,840\,000,
I_{y,f}=\dfrac{51\,840\,000}{12}=4\,320\,000\\ \text{mm}^4.
Agora aplicar o teorema dos eixos paralelos: para cada peça somamos A d^2, onde d é a distância horizontal entre o centro da peça e \bar{x}.
Distâncias:
d_w = \bar{x}-x_w = 59{,}11-18 = 41{,}11\\ \text{mm},
d_f = x_f - \bar{x} = 96-59{,}11 = 36{,}89\\ \text{mm}.
Contribuições A d^{2}:
A_w d_w^{2} = 6480\cdot (41{,}11)^{2}\approx 6480\cdot 1690{,}11 \approx 10\,951\,941\\ \text{mm}^4,
A_f d_f^{2} = 3600\cdot (36{,}89)^{2}\approx 3600\cdot 1360{,}80 \approx 4\,898\,874\\ \text{mm}^4\quad(\text{cada flange}).
Somando tudo:
I_{\bar{x}} = I_{y,w} + A_w d_w^{2} + 2\big( I_{y,f} + A_f d_f^{2} \big).
I_{\bar{x}} \approx 699\,840 + 10\,951\,941 + 2\big(4\,320\,000 + 4\,898\,874\big).
2\big(4\,320\,000 + 4\,898\,874\big) = 2\cdot 9\,218\,874 = 18\,437\,748.
I_{\bar{x}} \approx 699\,840 + 10\,951\,941 + 18\,437\,748 = 30\,089\,529\\ \text{mm}^4.
Converter para unidades do SI (metros):
I_{\bar{x}} = 30\,089\,529\\ \text{mm}^4 = 30\,089\,529\times 10^{-12}\\ \text{m}^4 \approx 3{,}00895\times 10^{-5}\\ \text{m}^4.

Passo 6

Calcular a tensão em C usando \sigma = -\dfrac{M\,x}{I}.
  • Converter M para newton-metros: M = 25\\ \text{kN}\cdot\text{m} = 25\,000\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Distância do centroide até C em metros: |x_C| = 59{,}11\\ \text{mm} = 0{,}05911\\ \text{m}.
  • Aplicando a fórmula (usaremos magnitude; o sinal depende do sentido do momento): |\sigma_C| = \dfrac{M\,|x_C|}{I_{\bar{x}}} = \dfrac{25\,000\cdot 0{,}05911}{3{,}00895\times 10^{-5}}.
Cálculo numérico:
25\,000\cdot 0{,}05911 = 1\,477{,}78\\ \text{N}\cdot\text{m},
|\sigma_C| \approx \dfrac{1\,477{,}78}{3{,}00895\times 10^{-5}}\\ \text{Pa} \approx 49{,}1\times 10^{6}\\ \text{Pa}.
Portanto:
|\sigma_C|\approx 49{,}1\\ \text{MPa}.
Observação sobre o sinal: o sinal (tração ou compressão) depende do sentido do momento aplicado. Pela fórmula \sigma=-M x/I, como x_C é negativo (ponto à esquerda do centroide), um M positivo dará um sinal oposto; em resumo, com o sentido de momento dado no enunciado decide-se se C está em tração ou compressão. O que importa numericamente para a prova normalmente é o valor da tensão: \,49{,}1\\ \text{MPa}.

Resposta

\sigma_{C}\approx 49{,}1\\ \mathrm{MPa}

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