Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade
são aplicados à viga
constituída de um perfil U. Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no
ponto
ponto
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (os comprimentos foram retirados da figura):
- Dois momentos fletores iguais e opostos com intensidade
agem na viga, fazendo-a flexionar num plano horizontal. - Geometria do perfil (valores extraídos da imagem):
- Altura total:
. - Largura do flange (projeção horizontal do flange):
. - Espessura dos flanges (superior e inferior):
(cada). - Espessura do corpo vertical (web):
.
- Altura total:
- Ponto onde se pede a tensão: o ponto
, localizado na face externa esquerda do topo do perfil (ou seja, o ponto mais à esquerda do topo).
O que o problema pede:
- Determinar a tensão normal (tensão de flexão) no ponto
ocasionada pelo momento .
Passo 2
Princípios e fórmulas que vamos usar (explicados devagarinho):
-
Fórmula da flexão simples (para flexão pura, plano de corte pequeno, materiais lineares):onde:
-
é a tensão normal na fibra a uma distância do eixo neutro (positiva se tração, negativa se compressão, conforme convenção escolhida); -
é o momento fletor em torno do eixo neutro (no nosso caso: eixo vertical que passa pelo centro da seção, pois a viga flexiona em plano horizontal); -
é a distância (em metros) do centroide da seção até o ponto onde queremos a tensão (no nosso caso, distância horizontal do centroide até ); -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (eixo vertical centroidal).
-
-
Como o perfil é composto por retângulos (web + 2 flanges), vamos usar área equivalente e o teorema dos eixos paralelos:onde:
-
é o momento de inércia do retângulo em torno do seu eixo vertical que passa pelo seu próprio centro; -
é a área do retângulo; -
é a distância entre o centro do retângulo e o centroide da seção composta (medida horizontal, já que o eixo neutro é vertical).
-
-
Momento de inércia de um retângulo (em relação ao eixo vertical que passa pelo seu centro):onde
é a largura na direção horizontal (dimensão que contribui para ) e é a altura (dimensão na direção vertical).
Vamos aplicar essas fórmulas passo a passo: primeiro achar o centroide horizontal da seção (posição do eixo neutro), depois calcular
da seção em torno desse eixo, depois usar
.
Passo 3
Definir as áreas e as posições dos centros (todas as medidas em
neste passo; depois convertaremos para metros para obter tensão em
).
-
Web (retângulo vertical):
- largura horizontal (espessura)
, - altura
, - área
. - posição do centro do web, medida a partir da face esquerda da web:
- largura horizontal (espessura)
-
Flange superior (retângulo horizontal):
- largura horizontal (projeção)
, - espessura (altura vertical)
, - área
. - posição do centro do flange (medida a partir da face esquerda da web): a flange está à direita da web, então
- largura horizontal (projeção)
-
Flange inferior: idêntico ao flange superior (mesma
e mesma ).
Passo 4
Calcular a posição do centroide horizontal da seção composta
(medida a partir da face esquerda da web):
Substituindo números:
Calculemos numericamente:
Assim, o eixo neutro vertical passa a
da face esquerda da web; a distância horizontal do centroide até o ponto
(que está na face esquerda, na coordenada
) é
ou seja, a magnitude da distância é
.
Passo 5
Calcular o momento de inércia
da seção em relação ao eixo vertical que passa pelo centroide (
), usando o teorema dos eixos paralelos.
Primeiro, momentos de inércia das peças em torno de seus próprios eixos centrais (eixo vertical pelo centro do retângulo):
- Web (retângulo largura
, altura ): Calculando:
- Cada flange:
Calculando:
Agora aplicar o teorema dos eixos paralelos: para cada peça somamos
, onde
é a distância horizontal entre o centro da peça e
.
Distâncias:
Contribuições
:
Somando tudo:
Converter para unidades do SI (metros):
Passo 6
Calcular a tensão em
usando
.
- Converter
para newton-metros: - Distância do centroide até
em metros: - Aplicando a fórmula (usaremos magnitude; o sinal depende do sentido do momento):
Cálculo numérico:
Portanto:
Observação sobre o sinal: o sinal (tração ou compressão) depende do sentido do momento aplicado. Pela fórmula
, como
é negativo (ponto à esquerda do centroide), um
positivo dará um sinal oposto; em resumo, com o sentido de momento dado no enunciado decide-se se
está em tração ou compressão. O que importa numericamente para a prova normalmente é o valor da tensão:
.