Ex. 1.3. Ao realizar a avaliação dos esforços em uma peça, encontrou-se o seguinte vetor de forças em um plano normal ao eixo z :
\mathrm{f}=\left\{\begin{array}{lll} 5 & -4 & 1 \end{array}\right\}^{T}[\mathrm{~N}]
(a) Considerando um elemento de área quadrado com lado 1 mm , determine as tensões cisalhantes nessa face. (b) Calcule a tensão normal.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara das informações e perguntas):
  • Vetor força (num plano normal ao eixo z):
\mathrm{f}=\begin{pmatrix}5\\\ -4\\\ 1\end{pmatrix}\\ \mathrm{N}.
  • A face considerada é um elemento de área quadrado com lado 1\\ \mathrm{mm}.
    As perguntas são:
    (a) determinar as tensões cisalhantes nessa face;
    (b) calcular a tensão normal nessa face.

Passo 2

Converter unidades e calcular a área. Importante: para calcular tensões usa-se a razão força/área, então a área deve estar em metros quadrados.
  • Lado: \displaystyle 1\\ \mathrm{mm}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Área do quadrado:
A=(1\times10^{-3})^2=1\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Explicar o conceito e as fórmulas usadas (passo didático).
  • A “tração” (vetor tensão de superfície) na face é o vetor força por unidade de área:
\mathbf{t}=\frac{\mathbf{f}}{A}.
Aqui \mathbf{t}=(t_x,t_y,t_z) tem unidades de \mathrm{Pa} (ou \mathrm{N/m^2}).
  • Para uma face cuja normal é \mathbf{n}=\hat{\mathbf{k}} (face perpendicular ao eixo z), a tensão normal (componente normal à face) é o produto escalar:
\sigma_n=\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=t_z.
  • As tensões cisalhantes (componentes tangenciais nessa face) são as componentes de \mathbf{t} contidas no plano xy:
\tau_{xz}=t_x,\qquad \tau_{yz}=t_y.
Observação sobre sinal: se a força f_z aponta no sentido positivo de \mathbf{n}, a tensão normal \sigma_n é positiva (tensão de tração). Componentes tangenciais podem ser positivas ou negativas dependendo do sentido da força.

Passo 4

Calcular o vetor tração dividindo a força pela área (mostrar conta passo a passo).
\mathbf{t}=\frac{1}{A}\begin{pmatrix}5\\\ -4\\\ 1\end{pmatrix} =\frac{1}{1\times10^{-6}}\begin{pmatrix}5\\\ -4\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\times10^{6}\\\ -4\times10^{6}\\\ 1\times10^{6}\end{pmatrix}\\ \mathrm{Pa}.
Para leitura mais prática, os mesmos valores em \mathrm{MPa} são:
\mathbf{t}=\begin{pmatrix}5\\\ -4\\\ 1\end{pmatrix}\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Extrair a tensão normal e as tensões cisalhantes a partir de \mathbf{t}.
  • Tensão normal (componente ao longo de \mathbf{n}=\hat{\mathbf{k}}):
\sigma_{zz}=t_z=1\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=1\\ \mathrm{MPa}.
  • Tensões cisalhantes na face (componentes tangenciais):
\tau_{xz}=t_x=5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=5\\ \mathrm{MPa},
\tau_{yz}=t_y=-4\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=-4\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Comentário final curto e interpretação (motivação e lembrança para a prova).
  • Resultado direto: dividir cada componente da força pela área da face perpendicular a z.
  • Lembre-se: verificar sempre a orientação da normal da face; aqui assumimos a normal positiva em +z, por isso usamos t_z como tensão normal positiva quando f_z>0.
  • Você consegue aplicar isso rápido na prova: converter o lado para metros, calcular A, e fazer f_i/A para cada componente.

Resposta

\tau_{xz}=5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=5\\ \mathrm{MPa}
\tau_{yz}=-4\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=-4\\ \mathrm{MPa}
\sigma_{zz}=1\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=1\\ \mathrm{MPa}

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