O que se pede:
(a) avaliar se isto pode ser considerado um estado plano de tensões;
(b) aplicar uma rotação de 45^\circ no tensor de tensões em torno do eixo x.
Observação (assunção natural): como o enunciado só fornece essas componentes, vou assumir que as demais componentes não informadas são nulas, isto é:
\sigma_{x}=0,\quad \tau_{xz}=0,\quad \tau_{yz}=0.
Se o enunciado pretendia outros valores para essas componentes, o resultado muda; como não foram dados, trabalho com essa hipótese.
Passo 2
O que significa “estado plano de tensões” (explicação didática curta e clara).
Um estado é dito plano de tensões quando existe uma direção (um eixo coordenado) tal que todas as componentes de tensão que têm essa direção como índice são nulas. Em palavras: todas as tensões normais e cisalhantes que atuam sobre planos perpendiculares a essa direção são zero.
Em termos do tensor de tensões \boldsymbol{\sigma} (matriz 3\times3):
ser plano de tensões significa que há um índice (por exemplo z) para o qual \sigma_{z}=\tau_{xz}=\tau_{yz}=0 (ou outro índice equivalente dependendo da orientação).
Outra maneira de testar: se for possível encontrar um sistema de eixos em que uma das tensões principais (autovalores do tensor) seja igual a zero, então existe uma orientação em que a componente normal nessa direção é zero; porém, para ser “plano de tensões” também é preciso que as componentes de cisalhamento associadas a esse eixo se anulem naquela orientação. No caso de um tensor diagonalizável (como é o caso aqui, por ser simétrico), se um autovalor for exatamente zero então existe uma orientação com uma componente normal zero; ainda assim haveria que verificar a anulação das cisalhantes nessa orientação — mas para tensores simétricos ortogonais, a diagonalização dá só normais (cisalhantes nulos na base principal).
Vou usar a abordagem prática: calcular os autovalores (tensões principais) do tensor completo assumido e verificar se algum deles é zero. Se nenhum for zero, não existe orientação com uma componente normal identicamente zero — então o estado não é plano de tensões em nenhum sistema de coordenadas.]
Passo 3
Escrevendo explicitamente o tensor de tensões com as hipóteses acima:
Note que a linha/coluna correspondente a z está desacoplada (não há cisalhamentos \tau_{xz} nem \tau_{yz}), por isso um autovalor é imediatamente \sigma_{z}=-20\\ \text{MPa}. Os outros dois autovalores vêm do bloco 2\times2 referente às componentes x-y:
Nenhum destes autovalores é igual a zero (temos aproximadamente 64{,}7,\\\ -24{,}7,\\\ -20 MPa).
Conclusão do teste do Passo 2: como nenhum autovalor é zero, não existe orientação em que a componente normal numa direção seja zero; portanto não é possível obter um estado em que todas as tensões sobre planos perpendiculares a alguma direção sejam nulas. Assim, este não é um estado plano de tensões.
Passo 5
Agora parte (b): rotação do tensor de tensões em torno do eixo x de 45^\circ.
Fórmula geral: se \mathbf{Q} é a matriz de rotação ortogonal, o tensor transformado é
onde usei explicitamente -s\cdot(-20)=20s no termo correspondente.
Agora \boldsymbol{\sigma}'=\mathbf{A}\,\mathbf{Q}^{T}. As colunas de \mathbf{Q}^{T} são as linhas de \mathbf{Q}. Fazendo os produtos linha por coluna obtemos os componentes:
\sigma'_{11}=0.
\sigma'_{12}=\sigma'_{21}=40c.
\sigma'_{13}=\sigma'_{31}=40s.
\sigma'_{22}=40c^{2}-20s^{2}.
\sigma'_{23}=\sigma'_{32}=60cs.
\sigma'_{33}=40s^{2}-20c^{2}.
Agora substituímos c=s=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, portanto c^{2}=s^{2}=\dfrac{1}{2} e cs=\dfrac{1}{2}. Assim: