Ex. 1.4. Ao realizar a análise de tensões na face de uma peça, foram definidos os seguintes valores de tensão:
\sigma_{y}=40 M P a ; \quad \sigma_{z}=-20 M P a ; \quad \tau_{x y}=40 M P a ;
(a) Avalie se este pode ser considerado estado plano de tensões.
(b) Aplique uma rotação de 45^{\circ} no tensor de tensões, em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes valores de tensão (peguei-os do enunciado):
\sigma_{y}=40\\ \text{MPa},\qquad \sigma_{z}=-20\\ \text{MPa},\qquad \tau_{xy}=40\\ \text{MPa}.
O que se pede:
(a) avaliar se isto pode ser considerado um estado plano de tensões;
(b) aplicar uma rotação de 45^\circ no tensor de tensões em torno do eixo x.
Observação (assunção natural): como o enunciado só fornece essas componentes, vou assumir que as demais componentes não informadas são nulas, isto é:
\sigma_{x}=0,\quad \tau_{xz}=0,\quad \tau_{yz}=0.
Se o enunciado pretendia outros valores para essas componentes, o resultado muda; como não foram dados, trabalho com essa hipótese.

Passo 2

O que significa “estado plano de tensões” (explicação didática curta e clara).
  • Um estado é dito plano de tensões quando existe uma direção (um eixo coordenado) tal que todas as componentes de tensão que têm essa direção como índice são nulas. Em palavras: todas as tensões normais e cisalhantes que atuam sobre planos perpendiculares a essa direção são zero.
  • Em termos do tensor de tensões \boldsymbol{\sigma} (matriz 3\times3):
\boldsymbol{\sigma}=\begin{pmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\[4pt] \tau_{xy} & \sigma_{y} & \tau_{yz}\\[4pt] \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{z} \end{pmatrix},
ser plano de tensões significa que há um índice (por exemplo z) para o qual \sigma_{z}=\tau_{xz}=\tau_{yz}=0 (ou outro índice equivalente dependendo da orientação).
  • Outra maneira de testar: se for possível encontrar um sistema de eixos em que uma das tensões principais (autovalores do tensor) seja igual a zero, então existe uma orientação em que a componente normal nessa direção é zero; porém, para ser “plano de tensões” também é preciso que as componentes de cisalhamento associadas a esse eixo se anulem naquela orientação. No caso de um tensor diagonalizável (como é o caso aqui, por ser simétrico), se um autovalor for exatamente zero então existe uma orientação com uma componente normal zero; ainda assim haveria que verificar a anulação das cisalhantes nessa orientação — mas para tensores simétricos ortogonais, a diagonalização dá só normais (cisalhantes nulos na base principal).
Vou usar a abordagem prática: calcular os autovalores (tensões principais) do tensor completo assumido e verificar se algum deles é zero. Se nenhum for zero, não existe orientação com uma componente normal identicamente zero — então o estado não é plano de tensões em nenhum sistema de coordenadas.]

Passo 3

Escrevendo explicitamente o tensor de tensões com as hipóteses acima:
\boldsymbol{\sigma}= \begin{pmatrix} 0 & 40 & 0\\[4pt] 40 & 40 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -20 \end{pmatrix}\\ \text{(MPa)}.
Note que a linha/coluna correspondente a z está desacoplada (não há cisalhamentos \tau_{xz} nem \tau_{yz}), por isso um autovalor é imediatamente \sigma_{z}=-20\\ \text{MPa}. Os outros dois autovalores vêm do bloco 2\times2 referente às componentes x- y:
\begin{pmatrix}0 & 40\\[4pt]40 & 40\end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo dos autovalores (tensões principais) do bloco 2\times2.
  • Para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b\\\ b & d\end{pmatrix}, os autovalores satisfazem
\lambda^{2}-(a+d)\lambda+(ad-b^{2})=0.
Aqui a=0,\\ d=40,\\ b=40. Então a equação característica é
\lambda^{2}-40\lambda-(40)^{2}=0.
Calcule o discriminante:
\Delta = 40^{2}+4\cdot 40^{2}=5\cdot 40^{2}=8000.
Logo
\lambda=\frac{40\pm\sqrt{8000}}{2}=\frac{40\pm 40\sqrt{5}}{2}=20\pm 20\sqrt{5}.
Valores numéricos:
\lambda_{1}=20+20\sqrt{5}\approx 64{,}722\\ \text{MPa}, \qquad \lambda_{2}=20-20\sqrt{5}\approx -24{,}722\\ \text{MPa}.
O terceiro autovalor já identificamos como
\lambda_{3}=\sigma_{z}=-20\\ \text{MPa}.
Nenhum destes autovalores é igual a zero (temos aproximadamente 64{,}7,\\\ -24{,}7,\\\ -20 MPa).
Conclusão do teste do Passo 2: como nenhum autovalor é zero, não existe orientação em que a componente normal numa direção seja zero; portanto não é possível obter um estado em que todas as tensões sobre planos perpendiculares a alguma direção sejam nulas. Assim, este não é um estado plano de tensões.

Passo 5

Agora parte (b): rotação do tensor de tensões em torno do eixo x de 45^\circ.
  • Fórmula geral: se \mathbf{Q} é a matriz de rotação ortogonal, o tensor transformado é
\boldsymbol{\sigma}'=\mathbf{Q}\,\boldsymbol{\sigma}\,\mathbf{Q}^{T}.
  • Para rotação de ângulo \theta em torno do eixo x usamos
\mathbf{Q}(\theta)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Aqui \theta=45^\circ, então
\cos\theta=\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Denotando c=\cos45^\circ e s=\sin45^\circ, com c=s=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, vamos calcular \boldsymbol{\sigma}'.]

Passo 6

Cálculo passo a passo de \boldsymbol{\sigma}'=\mathbf{Q}\,\boldsymbol{\sigma}\,\mathbf{Q}^{T}.
Primeiro, \mathbf{Q}=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&c&-s\\[4pt]0&s&c\end{pmatrix} e
\boldsymbol{\sigma}=\begin{pmatrix}0&40&0\\[4pt]40&40&0\\[4pt]0&0&-20\end{pmatrix}.
Calcule \mathbf{A}=\mathbf{Q}\,\boldsymbol{\sigma} (multiplicação linha por coluna):
\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 0 & 40 & 0\\[4pt] 40c & 40c & 20s\\[4pt] 40s & 40s & -20c \end{pmatrix},
onde usei explicitamente -s\cdot(-20)=20s no termo correspondente.
Agora \boldsymbol{\sigma}'=\mathbf{A}\,\mathbf{Q}^{T}. As colunas de \mathbf{Q}^{T} são as linhas de \mathbf{Q}. Fazendo os produtos linha por coluna obtemos os componentes:
  • \sigma'_{11}=0.
  • \sigma'_{12}=\sigma'_{21}=40c.
  • \sigma'_{13}=\sigma'_{31}=40s.
  • \sigma'_{22}=40c^{2}-20s^{2}.
  • \sigma'_{23}=\sigma'_{32}=60cs.
  • \sigma'_{33}=40s^{2}-20c^{2}.
Agora substituímos c=s=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, portanto c^{2}=s^{2}=\dfrac{1}{2} e cs=\dfrac{1}{2}. Assim:
  • \sigma'_{11}=0\\ \text{MPa}.
  • \sigma'_{12}=40c=40\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}\\ \text{MPa}\\ (\approx 28{,}284\\ \text{MPa}).
  • \sigma'_{13}=20\sqrt{2}\\ \text{MPa}\\ (\approx 28{,}284\\ \text{MPa}).
  • \sigma'_{22}=40\cdot\dfrac{1}{2}-20\cdot\dfrac{1}{2}=20-10=10\\ \text{MPa}.
  • \sigma'_{23}=60\cdot\dfrac{1}{2}=30\\ \text{MPa}.
  • \sigma'_{33}=40\cdot\dfrac{1}{2}-20\cdot\dfrac{1}{2}=10\\ \text{MPa}.
Portanto a matriz do tensor de tensões após a rotação de 45^\circ em torno de x é
\boldsymbol{\sigma}'= \begin{pmatrix} 0 & 20\sqrt{2} & 20\sqrt{2}\\[6pt] 20\sqrt{2} & 10 & 30\\[6pt] 20\sqrt{2} & 30 & 10 \end{pmatrix}\\ \text{(MPa)}.]

Resposta

(a) Não.
(b) \boldsymbol{\sigma}'= \begin{pmatrix} 0 & 20\sqrt{2} & 20\sqrt{2}\\[6pt] 20\sqrt{2} & 10 & 30\\[6pt] 20\sqrt{2} & 30 & 10 \end{pmatrix}\\ \text{MPa}]

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