Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade
são aplicados à viga
constituída de um perfil U . Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no
ponto
.
ponto
Passo 1
O enunciado e a figura nos dão o seguinte (peguei estes números da imagem):
- Dois momentos fletores iguais e opostos, de intensidade
, fazem a viga flexionar no plano horizontal. - A seção transversal é um perfil em “U” (ou C) com as dimensões:
- largura do flange (comprimento horizontal do topo ou base):
; - altura total da seção (distância vertical de topo a base):
; - espessura dos flanges (topo e base):
; - espessura do alma (web), medida horizontal:
.
- largura do flange (comprimento horizontal do topo ou base):
- Os pontos de interesse indicados:
é a extremidade esquerda do flange superior (aresta externa à esquerda). - O que o problema pede: determinar a tensão normal (tensão de flexão) no ponto
.
Passo 2
Escolha do modelo de cálculo e fórmulas úteis (a teoria necessária, explicada passo a passo).
- Para flexão pura em um plano (aqui plano horizontal), a tensão normal em um ponto da seção, medida ao longo da direção que sofre alongamento/encurtamento, é dada pela fórmula da flexão:
onde:
-
é a tensão normal no ponto (positiva se em tração, negativa se em compressão — o sinal depende da convenção escolhida); -
é o momento fletor em relação ao eixo neutro (aqui o momento aplicado é vertical, logo o eixo neutro é um eixo vertical passando pelo centróide da seção); -
é a distância horizontal do centróide da seção até o ponto onde se quer a tensão (usaremos para pontos à direita do centróide e para a esquerda); -
é o segundo momento de área (momento de inércia) da seção em relação ao eixo neutro (aqui o eixo vertical que passa pelo centróide).
- Procedimento prático:
- decompor a seção em retângulos simples (flange superior, alma, flange inferior);
- calcular áreas
e posições centrais (distâncias horizontais do bordo esquerdo) de cada retângulo; - achar o centróide da seção pela média ponderada:
; - calcular
em relação ao eixo vertical do centróide usando a soma das inércias centroidais dos retângulos mais os termos de deslocamento (teorema dos eixos paralelos):
onde
;
- finalmente aplicar
, onde é a coordenada horizontal do ponto relativa ao centróide ( ). Como é a aresta esquerda, se tomarmos a origem na aresta esquerda então e .
- Conversões de unidades: trabalhar em
e para ficar com em .
Passo 3
Calcular áreas e posições (usei as dimensões da imagem listadas em Passo 1). Vou tomar como referência a aresta esquerda (ponto
) como
e medir
positivo para a direita.
- Componentes da seção (três retângulos):
- Flange superior (índice 1): largura
, espessura . - Área:
. - Centróide horizontal:
.
- Área:
- Alma (web) (índice 2): largura (espessura)
, altura . - Área:
. - Centróide horizontal:
(pois a alma está encaixada à esquerda).
- Área:
- Flange inferior (índice 3): igual ao flange superior:
-
, .
-
- Área total:
- Coordenada do centróide da seção (horizontal):
Calculemos numericamente:
Portanto o centróide está a aproximadamente
da aresta esquerda
.
Passo 4
Calcular o momento de inércia
em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide (usar decomposição e teorema dos eixos paralelos).
- Inércia de cada retângulo em relação ao seu eixo vertical centroidal:
Para um retângulo de largura(na direção horizontal) e altura (vertical), a inércia em relação ao eixo vertical que passa pelo seu centro é
- Flange superior (índice 1):
:
- Alma (índice 2):
:
(Nota:
, vezes 15 dá
.)
- Flange inferior (índice 3): mesmo que 1:
- Distâncias dos centroides das peças ao centróide da seção:
-
. -
(módulo ). -
.
- Termos de paralela (area vezes distância ao quadrado):
- Somando tudo:
- soma das inércias centroidais:
- soma das parcelas
:
- Momento de inércia total em relação ao eixo vertical centroidal:
Passo 5
Calcular a tensão em
usando a fórmula da flexão.
- Coordenada de
relativa ao centróide:
- Aresta esquerda
tem (origem escolhida),
O sinal negativo indica que
está
à esquerda do centróide.
- Aplicando
com , e :
O duplo sinal negativo dá tensão positiva (tração). Agora o valor numérico:
Portanto
(tração) para o sentido do momento mostrado.