Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade M=25 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} são aplicados à viga A B constituída de um perfil U . Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no
ponto C.

Passo 1

O enunciado e a figura nos dão o seguinte (peguei estes números da imagem):
  • Dois momentos fletores iguais e opostos, de intensidade M=25\\ \mathrm{kN\cdot m}, fazem a viga flexionar no plano horizontal.
  • A seção transversal é um perfil em “U” (ou C) com as dimensões:
    • largura do flange (comprimento horizontal do topo ou base): 120\\ \mathrm{mm};
    • altura total da seção (distância vertical de topo a base): 180\\ \mathrm{mm};
    • espessura dos flanges (topo e base): 30\\ \mathrm{mm};
    • espessura do alma (web), medida horizontal: 36\\ \mathrm{mm}.
  • Os pontos de interesse indicados: C é a extremidade esquerda do flange superior (aresta externa à esquerda).
  • O que o problema pede: determinar a tensão normal (tensão de flexão) no ponto C.

Passo 2

Escolha do modelo de cálculo e fórmulas úteis (a teoria necessária, explicada passo a passo).
  1. Para flexão pura em um plano (aqui plano horizontal), a tensão normal em um ponto da seção, medida ao longo da direção que sofre alongamento/encurtamento, é dada pela fórmula da flexão:
\sigma = -\dfrac{M\,x}{I}
onde:
  • \sigma é a tensão normal no ponto (positiva se em tração, negativa se em compressão — o sinal depende da convenção escolhida);
  • M é o momento fletor em relação ao eixo neutro (aqui o momento aplicado é vertical, logo o eixo neutro é um eixo vertical passando pelo centróide da seção);
  • x é a distância horizontal do centróide da seção até o ponto onde se quer a tensão (usaremos x>0 para pontos à direita do centróide e x<0 para a esquerda);
  • I é o segundo momento de área (momento de inércia) da seção em relação ao eixo neutro (aqui o eixo vertical que passa pelo centróide).
  1. Procedimento prático:
  • decompor a seção em retângulos simples (flange superior, alma, flange inferior);
  • calcular áreas A_i e posições centrais x_i (distâncias horizontais do bordo esquerdo) de cada retângulo;
  • achar o centróide da seção pela média ponderada: \displaystyle \bar{x}=\frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i};
  • calcular I em relação ao eixo vertical do centróide usando a soma das inércias centroidais dos retângulos mais os termos de deslocamento (teorema dos eixos paralelos):
I=\sum\left(I_{i,\,\text{centro}} + A_i d_i^{2}\right),
onde d_i = x_i - \bar{x};
  • finalmente aplicar \sigma = -M\,x_C/I, onde x_C é a coordenada horizontal do ponto C relativa ao centróide ( x_C = x_{C,\text{orig}} - \bar{x}). Como C é a aresta esquerda, se tomarmos a origem na aresta esquerda então x_{C,\text{orig}}=0 e x_C = -\bar{x}.
  1. Conversões de unidades: trabalhar em \mathrm{N} e \mathrm{mm} para ficar com \sigma em \mathrm{N/mm^{2}}=\mathrm{MPa}.
M = 25\\ \mathrm{kN\cdot m}=25\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}=25\times10^{3}\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot mm}=25\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}.

Passo 3

Calcular áreas e posições (usei as dimensões da imagem listadas em Passo 1). Vou tomar como referência a aresta esquerda (ponto C) como x=0 e medir x positivo para a direita.
  1. Componentes da seção (três retângulos):
  • Flange superior (índice 1): largura b_{1}=120\\ \mathrm{mm}, espessura t_{1}=30\\ \mathrm{mm}.
    • Área: A_{1}=b_{1}t_{1}=120\cdot30=3600\\ \mathrm{mm^{2}}.
    • Centróide horizontal: x_{1}=\dfrac{b_{1}}{2}=\dfrac{120}{2}=60\\ \mathrm{mm}.
  • Alma (web) (índice 2): largura (espessura) b_{2}=36\\ \mathrm{mm}, altura h_{2}=180\\ \mathrm{mm}.
    • Área: A_{2}=b_{2}h_{2}=36\cdot180=6480\\ \mathrm{mm^{2}}.
    • Centróide horizontal: x_{2}=\dfrac{b_{2}}{2}=\dfrac{36}{2}=18\\ \mathrm{mm} (pois a alma está encaixada à esquerda).
  • Flange inferior (índice 3): igual ao flange superior:
    • A_{3}=3600\\ \mathrm{mm^{2}}, x_{3}=60\\ \mathrm{mm}.
  1. Área total:
A=\sum A_i=3600+6480+3600=13680\\ \mathrm{mm^{2}}.
  1. Coordenada do centróide da seção (horizontal):
\bar{x}=\dfrac{\sum A_i x_i}{A}=\dfrac{3600\cdot60 + 6480\cdot18 + 3600\cdot60}{13680}.
Calculemos numericamente:
3600\cdot60=216000,\quad 6480\cdot18=116640,
\text{numerador}=216000+116640+216000=548640,
\bar{x}=\dfrac{548640}{13680}\approx 40{,}11\\ \mathrm{mm}.
Portanto o centróide está a aproximadamente 40{,}11\\ \mathrm{mm} da aresta esquerda C.

Passo 4

Calcular o momento de inércia I em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide (usar decomposição e teorema dos eixos paralelos).
  1. Inércia de cada retângulo em relação ao seu eixo vertical centroidal:
    Para um retângulo de largura b (na direção horizontal) e altura h (vertical), a inércia em relação ao eixo vertical que passa pelo seu centro é
I_{\text{centro, vertical}}=\dfrac{h\,b^{3}}{12}.
  • Flange superior (índice 1): b_1=120,\\ h_1=30:
I_{1,\text{cent}}=\dfrac{30\cdot120^{3}}{12}=\dfrac{30}{12}\cdot120^{3}=2{,}5\cdot(120^{3})=4{,}32\times10^{6}\\ \mathrm{mm^{4}}.
  • Alma (índice 2): b_2=36,\\ h_2=180:
I_{2,\text{cent}}=\dfrac{180\cdot36^{3}}{12}=\dfrac{180}{12}\cdot36^{3}=15\cdot(36^{3})=6{,}9984\times10^{5}\\ \mathrm{mm^{4}}.
(Nota: 36^{3}=46656, vezes 15 dá 699840.)
  • Flange inferior (índice 3): mesmo que 1:
I_{3,\text{cent}}=4{,}32\times10^{6}\\ \mathrm{mm^{4}}.
  1. Distâncias dos centroides das peças ao centróide da seção:
d_i = x_i-\bar{x}.
  • d_1 = 60-40{,}11 = 19{,}89\\ \mathrm{mm}.
  • d_2 = 18-40{,}11 = -22{,}11\\ \mathrm{mm} (módulo 22{,}11\\ \mathrm{mm}).
  • d_3 = 60-40{,}11 = 19{,}89\\ \mathrm{mm}.
  1. Termos de paralela (area vezes distância ao quadrado):
A_1 d_1^{2}=3600\cdot(19{,}8947)^{2}\approx 1{,}4249\times10^{6}\\ \mathrm{mm^{4}},
A_3 d_3^{2}= \text{mesmo que }A_1 d_1^{2}\approx 1{,}4249\times10^{6}\\ \mathrm{mm^{4}},
A_2 d_2^{2}=6480\cdot(22{,}1053)^{2}\approx 3{,}1660\times10^{6}\\ \mathrm{mm^{4}}.
  1. Somando tudo:
  • soma das inércias centroidais:
\sum I_{i,\text{cent}} = 4{,}32\times10^{6} + 6{,}9984\times10^{5} + 4{,}32\times10^{6} = 9{,}33984\times10^{6}\\ \mathrm{mm^{4}}.
  • soma das parcelas A_i d_i^2:
\sum A_i d_i^{2}\approx 1{,}4249\times10^{6}+1{,}4249\times10^{6}+3{,}1660\times10^{6}\approx 6{,}0158\times10^{6}\\ \mathrm{mm^{4}}.
  1. Momento de inércia total em relação ao eixo vertical centroidal:
I = \sum\left(I_{i,\text{cent}}+A_i d_i^{2}\right)=9{,}33984\times10^{6}+6{,}0158\times10^{6}\approx 1{,}53556\times10^{7}\\ \mathrm{mm^{4}}.

Passo 5

Calcular a tensão em C usando a fórmula da flexão.
  1. Coordenada de C relativa ao centróide:
  • Aresta esquerda C tem x_{C,\text{orig}}=0 (origem escolhida),
x_C = x_{C,\text{orig}} - \bar{x} = 0 - 40{,}11 = -40{,}11\\ \mathrm{mm}.
O sinal negativo indica que C está 40{,}11\\ \mathrm{mm} à esquerda do centróide.
  1. Aplicando \sigma = -\dfrac{M\,x}{I} com M=25\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}, x=-40{,}11\\ \mathrm{mm} e I=1{,}53556\times10^{7}\\ \mathrm{mm^{4}}:
\sigma_C = -\dfrac{25\times10^{6}\cdot(-40{,}11)}{1{,}53556\times10^{7}}\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
O duplo sinal negativo dá tensão positiva (tração). Agora o valor numérico:
\sigma_C \approx \dfrac{25{,}000{,}000\cdot40{,}11}{15{,}355{,}598}\\ \mathrm{N/mm^{2}} \approx 65{,}3\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Portanto \sigma_C\approx 65{,}3\\ \mathrm{MPa} (tração) para o sentido do momento mostrado.

Resposta

\sigma_{C}\approx 65{,}3\\ \mathrm{MPa} (tração)

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