Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade M=25 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} são aplicados à viga A B constituída de um perfil U . Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no
ponto E.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a tensão normal no ponto E da seção em U quando à viga é submetida a momentos fletores iguais de intensidade M=25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} que fazem a viga flexionar em um plano horizontal.
Informações fornecidas (retiradas da figura):
  • Momento aplicado: M=25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
  • Seção composta por três retângulos (uma alma vertical e duas abas superior e inferior) com dimensões:
    • altura da alma: 180\\ \mathrm{mm};
    • espessura da alma: 36\\ \mathrm{mm};
    • comprimento (largura) das abas: 120\\ \mathrm{mm};
    • espessura de cada aba: 30\\ \mathrm{mm}.
  • O ponto E situa-se no centro da alma (no meio da espessura da alma, e na metade da altura).
  • O problema pede a tensão normal no ponto E (usar a fórmula de flexão para momento puro).
(Nas próximas etapas será feita a geometria da seção, cálculo do centróide, momento de inércia em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide e, finalmente, a tensão por flexão no ponto E.)

Passo 2

Configuração da análise e áreas das partes (cada retângulo).
  • Adotar um eixo horizontal x medido a partir da face esquerda da alma (x aumenta para a direita). O centróide da seção estará em \bar{x} medido nessa direção.
  • Áreas das peças:
    • alma: A_w = b_w h_w, com b_w=36\\ \mathrm{mm}, h_w=180\\ \mathrm{mm}. Logo A_w = 36\cdot180 = 6480\\ \mathrm{mm}^2.
    • cada aba: A_f = b_f t_f, com b_f=120\\ \mathrm{mm}, t_f=30\\ \mathrm{mm}. Logo A_f = 120\cdot30 = 3600\\ \mathrm{mm}^2.
  • Coordenadas x dos centróides de cada retângulo (medidas desde a face esquerda da alma):
    • alma (centro da espessura): x_w = \dfrac{36}{2} = 18\\ \mathrm{mm}.
    • cada aba (a aba começa na face da alma e vai até 120\\ \mathrm{mm}); o centróide da aba fica em x_f = \dfrac{120}{2} = 60\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Cálculo do centróide global \bar{x}.
  • Soma das áreas: A_{tot} = A_w + 2A_f = 6480 + 2\cdot3600 = 13680\\ \mathrm{mm}^2.
  • Coordenada do centróide: \bar{x}=\frac{A_w x_w + 2A_f x_f}{A_{tot}} =\frac{6480\cdot18 + 2\cdot3600\cdot60}{13680}.Calcular numericamente: 6480\cdot18 = 116640,\qquad 2\cdot3600\cdot60 = 432000,
\bar{x}=\frac{116640+432000}{13680}=\frac{548640}{13680}\approx 40{,}105\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Cálculo do momento de inércia da seção em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide ( I_z). Usar soma dos momentos de inércia dos retângulos com o teorema dos eixos paralelos.
  • Momento de inércia de um retângulo de largura b (na direção x) e altura h (direção vertical) em torno de um eixo vertical que passa por seu próprio centróide (eixo paralelo a web): I_{\text{cent}}=\dfrac{h\,b^{3}}{12}.
  1. Alma (web):
  • b_w=36\\ \mathrm{mm}, h_w=180\\ \mathrm{mm}: I_{w,cent}=\frac{180\cdot36^{3}}{12}.Calcular: 36^{3}=46656,\quad 180\cdot46656=8\,398\,080,\quad I_{w,cent}=\frac{8\,398\,080}{12}=699\,840\\ \mathrm{mm}^4.
  • Deslocamento horizontal do centróide da alma em relação a \bar{x}: d_w = x_w-\bar{x}=18-40{,}105=-22{,}105\\ \mathrm{mm}.
  • Termo de paralelo: A_w d_w^2 = 6480\cdot(-22{,}105)^2 \approx 3{,}166{,}497\\ \mathrm{mm}^4.
  1. Cada aba (duas iguais):
  • b_f=120\\ \mathrm{mm}, h_f=30\\ \mathrm{mm}:
    I_{f,cent}=\frac{30\cdot120^{3}}{12}.
    Calcular:
    120^{3}=1\,728\,000,\quad 30\cdot1\,728\,000=51\,840\,000,\quad I_{f,cent}=\frac{51\,840\,000}{12}=4\,320\,000\\ \mathrm{mm}^4.
  • Deslocamento horizontal do centróide da aba em relação a \bar{x}:
    d_f = x_f-\bar{x}=60-40{,}105=19{,}895\\ \mathrm{mm}.
  • Termo de paralelo (por uma aba):
    A_f d_f^2 = 3600\cdot(19{,}895)^2 \approx 1{,}424{,}852\\ \mathrm{mm}^4.
  • Agora somar tudo (alma + duas abas):
    I_z = I_{w,cent} + A_w d_w^2 + 2\left(I_{f,cent} + A_f d_f^2\right).
    Substituindo os valores aproximados:
    I_z \approx 699\,840 + 3\,166\,497 + 2\big(4\,320\,000 + 1\,424\,852\big).
    Calcular:
    4\,320\,000 + 1\,424\,852 = 5\,744\,852,
2\cdot5\,744\,852 = 11\,489\,704,
I_z \approx 699\,840 + 3\,166\,497 + 11\,489\,704 = 15\,356\,041\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 5

Posição do ponto E em relação ao centróide e sinal da tensão.
  • Coordenada horizontal de E (centro da alma): x_E = x_w = 18\\ \mathrm{mm}.
  • Distância horizontal do centróide ao ponto E:
    x_E-\bar{x}=18-40{,}105=-22{,}105\\ \mathrm{mm}.
    Ou seja, E está 22{,}105\\ \mathrm{mm} à esquerda do centróide (sinal negativo indica posição à esquerda).
  • Convenção de sinal: tomar M=+25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} com o sentido mostrado na figura e adotar a fórmula de flexão para momento aplicado sobre o eixo vertical:
    \sigma = M\frac{x-\bar{x}}{I_z}.
    (Com essa convenção, se x-\bar{x}<0 obter-se-á tensão de sinal negativo — compressão — no ponto à esquerda do centróide.)

Passo 6

Cálculo numérico da tensão em E.
  • Converter o momento para unidades \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}: M = 25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} = 25\,000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m} = 25\,000\cdot1000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}=25{,}000{,}000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}.
  • Aplicar a fórmula: \sigma_E = M\frac{x_E-\bar{x}}{I_z} =25{,}000{,}000\cdot\frac{-22{,}105}{15{,}356{,}041}\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2.Calcular a divisão: \sigma_E \approx 25{,}000{,}000\cdot\left(-0{,}001436\right)\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2 \approx -36{,}0\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2.
  • Unidades: 1\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2 = 1\\ \mathrm{MPa}. Portanto a tensão é \sigma_E \approx -36{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • Interpretação do sinal: o sinal negativo indica que E está em compressão segundo a convenção adotada.

Resposta

\sigma_E = -36{,}0\\ \mathrm{MPa} (compressão)

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