Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade
são aplicados à viga
constituída de um perfil U . Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no
ponto
ponto
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei estas dimensões da figura):
- Pede: determinar a tensão normal no ponto
da seção quando a viga está sujeita a momentos fletores iguais e opostos de intensidade , fazendo-a flexionar em um plano horizontal. - Dimensões da seção (tirei da imagem):
- espessura do flange superior:
; - espessura do flange inferior:
; - comprimento (projeção horizontal) de cada flange:
(do web até ); - espessura do alma (web):
; - altura total (de face superior do flange superior à face inferior do flange inferior):
.
- espessura do flange superior:
- Ponto
: extremidade direita do flange superior (logo, está a da face esquerda da alma). - O momento aplicado é
.
O objetivo imediato: calcular a tensão normal emusando a fórmula de flexão para um momento que atua em torno do eixo vertical da seção (flexão no plano horizontal).
Passo 2
Plano de solução e conversões de unidade (sem começar a calcular ainda):
- Usaremos a fórmula da tensão de flexão simples:
onde:
-
é a tensão normal no ponto considerado (N/mm = MPa), -
é o momento fletor (N·mm), -
é a distância horizontal entre o centróide da seção e o ponto (mm), -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide (mm ). - Para usar consistentemente as unidades da seção (mm), convertemos o momento:
Passo 3
Modelagem da seção por retângulos e cálculo das áreas e das posições centroidais (passo a passo didático):
Vamos decompor a seção em 3 retângulos simples:
Vamos decompor a seção em 3 retângulos simples:
- Alma (web): largura
, altura . - Flange superior: largura
, altura . - Flange inferior: mesma do flange superior.
Áreas:
Posições centroidais horizontais (medidas a partir da face esquerda da alma; a alma está na esquerda e os flanges se estendem para a direita):
Cálculo do centróide da seção
(método: média ponderada pelas áreas):
Substituindo valores:
Calculemos numerador e denominador:
Logo
Portanto o centróide da seção está a
da face esquerda da alma.
A distância horizontal do centróide até o ponto (que está a
da face esquerda) é
A distância horizontal do centróide até o ponto
Passo 4
Cálculo do momento de inércia da seção em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide (explicando fórmulas usadas):
- Fórmula de momento de inércia de um retângulo em torno de um eixo vertical passando pelo seu centróide (e paralelo à altura): para um retângulo com largura
(dimensão horizontal) e altura (dimensão vertical),
(Isto resulta de integrar
sobre a área; atenção: aqui o eixo é vertical, por isso aparece
.)
- Se o eixo de interesse não passa pelo centróide do retângulo, usamos o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner):
onde
é a distância entre os dois eixos paralelos (no nosso caso, a distância horizontal entre o centróide do retângulo e o centróide global
).
Calculamos
de cada peça:
- Alma (web), centrado em
:
Compute:
Distância até o centróide global:
Logo
- Flange superior (centro em
):
Compute:
Distância até o centróide global:
- Flange inferior: idêntico ao flange superior,
Somando as três contribuições:
(Arredondando convenientemente usaremos
.)
Passo 5
Aplicação da fórmula da tensão de flexão para obter
(explicando o que cada termo significa):
A expressão que usamos é
A expressão que usamos é
onde:
-
é o momento em N·mm ( ); -
é a distância horizontal do centróide até ( ); -
é o momento de inércia calculado acima ( ).
Substituindo:
Compute o numerador:
Agora a divisão:
Portanto o valor numérico da tensão é aproximadamente
.
Observação sobre sinal (tensão de tração ou compressão): o sinal (se é tração ou compressão) depende do sentido do momento
. Com o sentido do momento mostrado na figura (os momentos fazem a chapa curvar de modo que a extremidade direita do flange superior é comprimida), o ponto
estará em compressão. Se o momento tivesse sentido oposto,
estaria em tração.