Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade M=25 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} são aplicados à viga A B constituída de um perfil U . Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no
ponto D

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei estas dimensões da figura):
  • Pede: determinar a tensão normal no ponto D da seção quando a viga está sujeita a momentos fletores iguais e opostos de intensidade M=25\\ \mathrm{kN\cdot m}, fazendo-a flexionar em um plano horizontal.
  • Dimensões da seção (tirei da imagem):
    • espessura do flange superior: 30\\ \mathrm{mm};
    • espessura do flange inferior: 30\\ \mathrm{mm};
    • comprimento (projeção horizontal) de cada flange: 120\\ \mathrm{mm} (do web até D);
    • espessura do alma (web): 36\\ \mathrm{mm};
    • altura total (de face superior do flange superior à face inferior do flange inferior): 180\\ \mathrm{mm}.
  • Ponto D: extremidade direita do flange superior (logo, está a 120\\ \mathrm{mm} da face esquerda da alma).
  • O momento aplicado é M=25\\ \mathrm{kN\cdot m}.
    O objetivo imediato: calcular a tensão normal em D usando a fórmula de flexão para um momento que atua em torno do eixo vertical da seção (flexão no plano horizontal).

Passo 2

Plano de solução e conversões de unidade (sem começar a calcular ainda):
  • Usaremos a fórmula da tensão de flexão simples:
\sigma = \frac{M\,x}{I}
onde:
  • \sigma é a tensão normal no ponto considerado (N/mm ^2 = MPa),
  • M é o momento fletor (N·mm),
  • x é a distância horizontal entre o centróide da seção e o ponto D (mm),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide (mm ^4).
  • Para usar consistentemente as unidades da seção (mm), convertemos o momento:
M = 25\\ \mathrm{kN\cdot m} = 25{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{N}\times10^{3}\\ \mathrm{mm}=25{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}.

Passo 3

Modelagem da seção por retângulos e cálculo das áreas e das posições centroidais (passo a passo didático):
Vamos decompor a seção em 3 retângulos simples:
  • Alma (web): largura b_w=36\\ \mathrm{mm}, altura h_w=180\\ \mathrm{mm}.
  • Flange superior: largura b_f=120\\ \mathrm{mm}, altura h_f=30\\ \mathrm{mm}.
  • Flange inferior: mesma do flange superior.
Áreas:
A_w = b_w h_w = 36\cdot180 = 6480\\ \mathrm{mm^2},
A_{ts}=A_{bs}=b_f h_f = 120\cdot30 = 3600\\ \mathrm{mm^2}\quad(\text{flange superior e inferior}).
Posições centroidais horizontais (medidas a partir da face esquerda da alma; a alma está na esquerda e os flanges se estendem para a direita):
x_w = \frac{b_w}{2}=18{,}0\\ \mathrm{mm},
x_{ts}=x_{bs}=\frac{b_f}{2}=60{,}0\\ \mathrm{mm}.
Cálculo do centróide da seção \bar{x} (método: média ponderada pelas áreas):
\bar{x}=\frac{A_w x_w + A_{ts} x_{ts} + A_{bs} x_{bs}}{A_w + A_{ts} + A_{bs}}.
Substituindo valores:
\bar{x}=\frac{6480\cdot18{,}0 + 3600\cdot60{,}0 +3600\cdot60{,}0}{6480+3600+3600}.
Calculemos numerador e denominador:
\text{num}=6480\cdot18{,}0 + 7200\cdot60{,}0 =116640 + 432000 = 548640,
\text{den}=6480+3600+3600=13680.
Logo
\bar{x}=\frac{548640}{13680}\approx 40{,}1053\\ \mathrm{mm}.
Portanto o centróide da seção está a \bar{x}\approx 40{,}105\\ \mathrm{mm} da face esquerda da alma.
A distância horizontal do centróide até o ponto D (que está a 120\\ \mathrm{mm} da face esquerda) é
x_D = 120 - \bar{x} \approx 120 - 40{,}1053 = 79{,}8947\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Cálculo do momento de inércia da seção em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide (explicando fórmulas usadas):
  • Fórmula de momento de inércia de um retângulo em torno de um eixo vertical passando pelo seu centróide (e paralelo à altura): para um retângulo com largura b (dimensão horizontal) e altura h (dimensão vertical),
I_{y,\text{centro}}=\frac{1}{12}\,h\,b^3.
(Isto resulta de integrar x^2 sobre a área; atenção: aqui o eixo é vertical, por isso aparece b^3.)
  • Se o eixo de interesse não passa pelo centróide do retângulo, usamos o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner):
I_{y} = I_{y,\text{centro}} + A d^2,
onde d é a distância entre os dois eixos paralelos (no nosso caso, a distância horizontal entre o centróide do retângulo e o centróide global \bar{x}).
Calculamos I_y de cada peça:
  1. Alma (web), centrado em x_w=18{,}0\\ \mathrm{mm}:
I_{y,w,\text{centro}}=\frac{1}{12}\,h_w\,b_w^3=\frac{1}{12}\cdot180\cdot36^3.
Compute:
36^3=46656,\quad 180\cdot46656=8\,398\,080,
I_{y,w,\text{centro}}=\frac{8\,398\,080}{12}=699\,840\\ \mathrm{mm^4}.
Distância até o centróide global:
d_w=|\bar{x}-x_w|=|40{,}1053-18{,}0|=22{,}1053\\ \mathrm{mm},
A_w d_w^2 =6480\cdot(22{,}1053)^2 \approx 6480\cdot488{,}648=3\,166\,439{,}0\\ \mathrm{mm^4}.
Logo
I_{y,w}=699\,840 + 3\,166\,439 \approx 3\,866\,279\\ \mathrm{mm^4}.
  1. Flange superior (centro em x_{ts}=60{,}0\\ \mathrm{mm}):
I_{y,ts,\text{centro}}=\frac{1}{12}\,h_f\,b_f^3=\frac{1}{12}\cdot30\cdot120^3.
Compute:
120^3=1\,728\,000,\quad 30\cdot1\,728\,000=51\,840\,000,
I_{y,ts,\text{centro}}=\frac{51\,840\,000}{12}=4\,320\,000\\ \mathrm{mm^4}.
Distância até o centróide global:
d_{ts}=|60{,}0-40{,}1053|=19{,}8947\\ \mathrm{mm},
A_{ts}d_{ts}^2=3600\cdot(19{,}8947)^2\approx3600\cdot395{,}792=1\,424\,851{,}2\\ \mathrm{mm^4}.
I_{y,ts}=4\,320\,000 + 1\,424\,851{,}2 \approx 5\,744\,851{,}2\\ \mathrm{mm^4}.
  1. Flange inferior: idêntico ao flange superior,
I_{y,bs}\approx 5\,744\,851{,}2\\ \mathrm{mm^4}.
Somando as três contribuições:
I_y = I_{y,w}+I_{y,ts}+I_{y,bs} \approx 3\,866\,279 + 5\,744\,851{,}2 + 5\,744\,851{,}2.
I_y \approx 15\,355\,981{,}4\\ \mathrm{mm^4}.
(Arredondando convenientemente usaremos I_y\approx 1{,}5356\times10^{7}\\ \mathrm{mm^4}.)

Passo 5

Aplicação da fórmula da tensão de flexão para obter \sigma_D (explicando o que cada termo significa):
A expressão que usamos é
\sigma_D = \frac{M\,x_D}{I_y},
onde:
  • M é o momento em N·mm ( M=25{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm});
  • x_D é a distância horizontal do centróide até D ( x_D\approx79{,}8947\\ \mathrm{mm});
  • I_y é o momento de inércia calculado acima ( I_y\approx15\,355\,981{,}4\\ \mathrm{mm^4}).
Substituindo:
\sigma_D \approx \frac{25{,}0\times10^{6}\cdot79{,}8947}{15\,355\,981{,}4}\\ \mathrm{N/mm^2}.
Compute o numerador:
25{,}0\times10^{6}\cdot79{,}8947 \approx 1{,}997\,368\,425\\ \mathrm{N\cdot mm^2}.
Agora a divisão:
\sigma_D \approx \frac{1{,}997\,368\,425}{15\,355\,981{,}4}\approx 130{,}1\\ \mathrm{N/mm^2}.
Portanto o valor numérico da tensão é aproximadamente 130{,}1\\ \mathrm{MPa}.
Observação sobre sinal (tensão de tração ou compressão): o sinal (se é tração ou compressão) depende do sentido do momento M. Com o sentido do momento mostrado na figura (os momentos fazem a chapa curvar de modo que a extremidade direita do flange superior é comprimida), o ponto D estará em compressão. Se o momento tivesse sentido oposto, D estaria em tração.

Resposta

\sigma_D \approx 130{,}1\\ \mathrm{MPa} (com magnitude 130{,}1\\ \mathrm{MPa}; com o sentido mostrado na figura, D fica em compressão)

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