Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade M=25 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} são aplicados à viga A B constituída de um perfil U . Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no ponto E

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a tensão normal no ponto E da seção do perfil em U quando a viga está submetida a um momento fletor de intensidade M=25\\ \text{kN}\cdot\text{m} que faz a viga flexionar no plano horizontal.
Informações relevantes dadas (retiradas da figura):
  • M=25\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  • Largura da aba (flange), medida horizontal: 120\\ \text{mm}.
  • Espessura das abas (topo e base): 30\\ \text{mm} cada.
  • Altura total do perfil: 180\\ \text{mm}.
  • Espessura da alma (web): 36\\ \text{mm}.
  • O ponto E está localizado no centro da alma (metade da espessura da alma) e aproximadamente no meio em altura da alma (ou seja, na linha vertical central da alma).
  • A flexão ocorre no plano horizontal → o momento provoca flexão em torno de um eixo vertical que passa pelo centro de área da seção (portanto devemos usar as distâncias horizontais até o centro de área e o momento de inércia em relação ao eixo vertical).

Passo 2

Plano de solução (passos que vou executar, sem começar a calcular ainda):
  1. Calcular as áreas dos retângulos que compõem a seção (alma e duas abas) e determinar a posição do centro de área (centroide) na direção horizontal \bar{x}.
  2. Calcular o momento de inércia da seção em relação ao eixo vertical que passa pelo centroide: somar os momentos de inércia centroidais de cada retângulo e aplicar o teorema dos eixos paralelos quando necessário.
  3. Determinar a distância horizontal entre o ponto E e o centroide \bar{x}.
  4. Calcular a tensão de flexão usando a fórmula da flexão simples para momento fletor em torno de eixo vertical:
\sigma = -\dfrac{M\,(x_E-\bar{x})}{I}
onde x_E-\bar{x} é a distância horizontal do ponto E até o eixo neutro (centroide) e I é o momento de inércia em relação ao eixo neutro vertical.
5. Interpretar o sinal (tração ou compressão) a partir do resultado.

Passo 3

Cálculo das áreas e posições horizontais (tomando como referência a face externa esquerda da alma como x=0).
Dimensões:
  • Alma (web): espessura b_w=36\\ \text{mm}, altura h_w=180\\ \text{mm}.
  • Aba (flange), superior e inferior: comprimento horizontal b_f=120\\ \text{mm}, espessura vertical h_f=30\\ \text{mm}.
Áreas:
A_w = b_w h_w = 36\cdot180 = 6480\\ \text{mm}^2.
A_f = b_f h_f = 120\cdot30 = 3600\\ \text{mm}^2\quad\text{(cada aba)}.
Coordenadas dos centroides horizontais (distância medida a partir da face esquerda da alma):
  • Centro da alma: x_w = \dfrac{b_w}{2} = \dfrac{36}{2} = 18\\ \text{mm}.
  • Centro de cada aba (flange): as abas começam na face esquerda da alma e se estendem para a direita 120\\ \text{mm}, logo o centro de cada aba está em
x_f = \dfrac{120}{2} = 60\\ \text{mm}.

Passo 4

Cálculo do centroide horizontal \bar{x} da seção composta:
\bar{x}=\dfrac{A_w x_w + 2A_f x_f}{A_w + 2A_f}.
Substituindo os valores:
\bar{x}=\dfrac{6480\cdot18 + 2\cdot3600\cdot60}{6480 + 2\cdot3600}.
Calcule cada termo:
6480\cdot18 = 116640, \qquad 2\cdot3600\cdot60 = 7200\cdot60 = 432000,
A_{\text{total}} = 6480 + 7200 = 13680.
Logo
\bar{x}=\dfrac{116640 + 432000}{13680} = \dfrac{548640}{13680}\approx 40{,}11\\ \text{mm}.

Passo 5

Fórmula para o momento de inércia vertical (em torno do eixo vertical passando pelo centroide de cada retângulo):
  • Para um retângulo de largura horizontal b e altura vertical h, o momento de inércia em relação ao seu eixo centroidal vertical é
I_{\text{cent}}=\dfrac{h\,b^{3}}{12}.
Calcule os I centroidais:
  • Alma:
I_{w,\text{cent}}=\dfrac{h_w\,b_w^{3}}{12}=\dfrac{180\cdot36^{3}}{12}.
Calcule 36^{3}=46656. Então
I_{w,\text{cent}}=\dfrac{180\cdot46656}{12}= \dfrac{8\,398\,080}{12}=699\,840\\ \text{mm}^4.
  • Cada aba (flange):
I_{f,\text{cent}}=\dfrac{h_f\,b_f^{3}}{12}=\dfrac{30\cdot120^{3}}{12}.
Calcule 120^{3}=1\,728\,000. Então
I_{f,\text{cent}}=\dfrac{30\cdot1\,728\,000}{12}=\dfrac{51\,840\,000}{12}=4\,320\,000\\ \text{mm}^4.
Duas abas: 2I_{f,\text{cent}}=8\,640\,000\\ \text{mm}^4.

Passo 6

Aplicar o teorema dos eixos paralelos para deslocar os I das partes até o eixo vertical que passa pelo centroide da seção.
Distâncias horizontais entre centroides das partes e o centroide da seção:
d_w = x_w - \bar{x} = 18 - 40{,}11 = -22{,}11\\ \text{mm},
d_f = x_f - \bar{x} = 60 - 40{,}11 = 19{,}89\\ \text{mm}.
Termos A d^2:
A_w d_w^{2} = 6480\cdot(22{,}11)^{2}\approx 6480\cdot488{,}9 \approx 3\,168\,072\\ \text{mm}^4,
2A_f d_f^{2} = 2\cdot3600\cdot(19{,}89)^{2} \approx 7200\cdot395{,}6 \approx 2\,848\,320\\ \text{mm}^4.
Somando tudo, o momento de inércia total em relação ao eixo vertical centroidal é:
I = I_{w,\text{cent}} + 2I_{f,\text{cent}} + A_w d_w^{2} + 2A_f d_f^{2}.
Substituindo números:
I \approx 699\,840 + 8\,640\,000 + 3\,168\,072 + 2\,848\,320 = 15\,356\,232\\ \text{mm}^4.

Passo 7

Distância horizontal do ponto E até o centroide:
  • Como E está no centro da alma, sua coordenada horizontal é x_E = x_w = 18\\ \text{mm}.
  • Logo
x_E - \bar{x} = 18 - 40{,}11 = -22{,}11\\ \text{mm}.
(Valor negativo indica que E fica à esquerda do eixo neutro.)

Passo 8

Converter o momento para unidades coerentes e aplicar a fórmula da flexão:
M = 25\\ \text{kN}\cdot\text{m} = 25\,000\\ \text{N}\cdot\text{m} = 25{,}000\times1000\\ \text{N}\cdot\text{mm} = 25\,000\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
A fórmula usada (com a convenção \sigma=-\dfrac{M(x_E-\bar{x})}{I}) dá:
\sigma_E = -\dfrac{M\,(x_E-\bar{x})}{I} = -\dfrac{25\,000\,000\cdot(-22{,}11)}{15\,356\,232}\\ \text{N/mm}^2.
Calcule numericamente:
\sigma_E \approx -\dfrac{25\,000\,000\cdot(-22{,}11)}{15\,356\,232} = \dfrac{552\,750\,000}{15\,356\,232}\approx 36{,}0\\ \text{N/mm}^2.

Passo 9

Interpretação do sinal:
  • O resultado deu \sigma_E\approx +36{,}0\\ \text{N/mm}^2 (positivo com a convenção adotada), o que corresponde a tração em E. Em outras palavras: a magnitude da tensão é 36{,}0\\ \text{MPa}, e o ponto E está tracionado.

Resposta

\sigma_E = 36{,}0\\ \text{MPa} (tração)

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