Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade
são aplicados à viga
constituída de um perfil U . Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no ponto
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a tensão normal no ponto
da seção do perfil em U quando a viga está submetida a um momento fletor de intensidade que faz a viga flexionar no plano horizontal.
Informações relevantes dadas (retiradas da figura):
-
. - Largura da aba (flange), medida horizontal:
. - Espessura das abas (topo e base):
cada. - Altura total do perfil:
. - Espessura da alma (web):
. - O ponto
está localizado no centro da alma (metade da espessura da alma) e aproximadamente no meio em altura da alma (ou seja, na linha vertical central da alma). - A flexão ocorre no plano horizontal → o momento provoca flexão em torno de um eixo vertical que passa pelo centro de área da seção (portanto devemos usar as distâncias horizontais até o centro de área e o momento de inércia em relação ao eixo vertical).
Passo 2
Plano de solução (passos que vou executar, sem começar a calcular ainda):
- Calcular as áreas dos retângulos que compõem a seção (alma e duas abas) e determinar a posição do centro de área (centroide) na direção horizontal
. - Calcular o momento de inércia da seção em relação ao eixo vertical que passa pelo centroide: somar os momentos de inércia centroidais de cada retângulo e aplicar o teorema dos eixos paralelos quando necessário.
- Determinar a distância horizontal entre o ponto
e o centroide . - Calcular a tensão de flexão usando a fórmula da flexão simples para momento fletor em torno de eixo vertical:
onde
é a distância horizontal do ponto
até o eixo neutro (centroide) e
é o momento de inércia em relação ao eixo neutro vertical.
5. Interpretar o sinal (tração ou compressão) a partir do resultado.
5. Interpretar o sinal (tração ou compressão) a partir do resultado.
Passo 3
Cálculo das áreas e posições horizontais (tomando como referência a face externa esquerda da alma como
).
Dimensões:
- Alma (web): espessura
, altura . - Aba (flange), superior e inferior: comprimento horizontal
, espessura vertical .
Áreas:
Coordenadas dos centroides horizontais (distância medida a partir da face esquerda da alma):
- Centro da alma:
- Centro de cada aba (flange): as abas começam na face esquerda da alma e se estendem para a direita
, logo o centro de cada aba está em
Passo 4
Cálculo do centroide horizontal
da seção composta:
Substituindo os valores:
Calcule cada termo:
Logo
Passo 5
Fórmula para o momento de inércia vertical (em torno do eixo vertical passando pelo centroide de cada retângulo):
- Para um retângulo de largura horizontal
e altura vertical , o momento de inércia em relação ao seu eixo centroidal vertical é
Calcule os
centroidais:
- Alma:
Calcule
. Então
- Cada aba (flange):
Calcule
. Então
Duas abas:
Passo 6
Aplicar o teorema dos eixos paralelos para deslocar os
das partes até o eixo vertical que passa pelo centroide da seção.
Distâncias horizontais entre centroides das partes e o centroide da seção:
Termos
:
Somando tudo, o momento de inércia total em relação ao eixo vertical centroidal é:
Substituindo números:
Passo 7
Distância horizontal do ponto
até o centroide:
- Como
está no centro da alma, sua coordenada horizontal é - Logo
(Valor negativo indica que
fica à esquerda do eixo neutro.)
Passo 8
Converter o momento para unidades coerentes e aplicar a fórmula da flexão:
A fórmula usada (com a convenção
) dá:
Calcule numericamente:
Passo 9
Interpretação do sinal:
- O resultado deu
(positivo com a convenção adotada), o que corresponde a tração em . Em outras palavras: a magnitude da tensão é , e o ponto está tracionado.