Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade
são aplicados à viga
constituída de um perfil U . Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no ponto
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos (peguei estes valores da figura enviada).
- Pede: determinar a tensão normal no ponto
da seção em U quando a viga é submetida a um momento fletor que faz a viga flexionar em um plano horizontal. - Dados tomados da imagem:
- Momento:
. - Dimensões do perfil (tirei da imagem): largura total (distância da face esquerda até
) , altura total , espessura da alma (web) , espessura das chapas de flange (topo e fundo) .
- Momento:
- Observação importante (extraída da frase do enunciado): a flexão ocorre em um plano horizontal. Isso significa que o eixo neutro é vertical e a curvatura é no sentido horizontal — portanto a tensão normal em
é obtida por flexão em torno do eixo vertical (momento em torno do eixo vertical).
Não começo ainda a calcular — só organizei o que se pede e os números que vou usar.
Passo 2
Esquema do método e fórmula básica (aula rápida sobre a fórmula da flexão).
- Para flexão pura em torno de um eixo que passa pelo centróide, a tensão normal à seção é dada por
onde:
-
é a tensão normal no ponto considerado (positivo seguindo a convenção escolhida), -
é o momento fletor em relação ao eixo considerado (aqui, eixo vertical passando pelo centróide), -
é a distância horizontal do centróide da seção até o ponto onde se quer a tensão (positivo para o lado do ponto), -
é o momento de inércia da área da seção em relação ao mesmo eixo (aqui, momento de inércia em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide). - Então o plano de ataque é:
- calcular a posição do centróide (coordenada
do centróide medida a partir da face esquerda); - calcular
da seção em torno do eixo vertical que passa pelo centróide (usar soma de retângulos + teorema dos eixos paralelos); - calcular
e aplicar .
Vou proceder passo a passo com cálculos explicados.
- calcular a posição do centróide (coordenada
Passo 3
Calcular áreas das partes (divisão em retângulos) e posição do centróide (explico como).
- Modelo da seção: três retângulos que se sobrepõem apropriadamente:
- Alma (web): retângulo de largura
e altura . - Flange superior: retângulo de largura
e espessura . - Flange inferior: idêntico ao superior.
- Alma (web): retângulo de largura
- Áreas:
- Coordenadas
dos centróides de cada retângulo, medidas a partir da face esquerda ( na face esquerda da alma): - Coordenada
do centróide da seção composta (média ponderada pelas áreas): Substituindo: (Arredondando, da face esquerda.) - Observação: aqui eu peguei as áreas e posições diretamente da geometria mostrada na figura.
Passo 4
Explicação e fórmula do momento de inércia para retângulo em relação ao eixo vertical que passa pelo seu centróide.
- Para um retângulo cuja largura na direção
é e altura na direção é , o momento de inércia em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide (isto é, calculado por ) é
- Se o eixo de interesse não passa pelo centróide do retângulo, usa-se o teorema dos eixos paralelos:
onde
é a distância entre os dois eixos (neste caso, a diferença entre as abscissas dos centróides).
Passo 5
Calcular os momentos de inércia de cada peça em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide da seção composta.
- Primeiro calculo os
centrais de cada retângulo (em ): - Alma (web):
- Flange (cada):
- Agora as distâncias
dos centróides de cada retângulo até o centróide da seção:
(Usei os valores de
calculados antes; note que só importa
.)
- Aplicando o teorema dos eixos paralelos para cada peça:
- Alma:
- Flange superior:
- Flange inferior: mesma contribuição que a superior,
- Somando as contribuições:
(Arredondado: .)
Passo 6
Calcular a distância horizontal do centróide até o ponto
e aplicar a fórmula da tensão.
- A abscissa do ponto
medida a partir da face esquerda é (peguei da imagem). - Distância do centróide até
: (Peguei do Passo 3.) - Converter o momento para unidades compatíveis:
. - Aplicar
Substituindo: Calculando numérico: Ou seja .
Passo 7
Interpretação do sinal (breve comentário).
- Aqui calculei o módulo e usei a fórmula
com . Se o momento tiver o sentido que comprime o lado direito, a tensão será compressiva; se tiver sentido oposto será tração. O enunciado pede "a tensão no ponto " — o valor numérico é aproximadamente (com sinal dependendo do sentido do momento).