Dois momentos fletores iguais e opostos de intensidade M=25 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} são aplicados à viga A B constituída de um perfil U . Observando que fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine a tensão no ponto D

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (peguei estes valores da figura enviada).
  • Pede: determinar a tensão normal no ponto D da seção em U quando a viga é submetida a um momento fletor M=25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} que faz a viga flexionar em um plano horizontal.
  • Dados tomados da imagem:
    • Momento: M=25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
    • Dimensões do perfil (tirei da imagem): largura total (distância da face esquerda até D) =120\\ \mathrm{mm}, altura total =180\\ \mathrm{mm}, espessura da alma (web) =36\\ \mathrm{mm}, espessura das chapas de flange (topo e fundo) =30\\ \mathrm{mm}.
  • Observação importante (extraída da frase do enunciado): a flexão ocorre em um plano horizontal. Isso significa que o eixo neutro é vertical e a curvatura é no sentido horizontal — portanto a tensão normal em D é obtida por flexão em torno do eixo vertical (momento em torno do eixo vertical).
    Não começo ainda a calcular — só organizei o que se pede e os números que vou usar.

Passo 2

Esquema do método e fórmula básica (aula rápida sobre a fórmula da flexão).
  • Para flexão pura em torno de um eixo que passa pelo centróide, a tensão normal à seção é dada por
\sigma=\frac{M\,x}{I}
onde:
  • \sigma é a tensão normal no ponto considerado (positivo seguindo a convenção escolhida),
  • M é o momento fletor em relação ao eixo considerado (aqui, eixo vertical passando pelo centróide),
  • x é a distância horizontal do centróide da seção até o ponto onde se quer a tensão (positivo para o lado do ponto),
  • I é o momento de inércia da área da seção em relação ao mesmo eixo (aqui, momento de inércia em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide).
  • Então o plano de ataque é:
    1. calcular a posição do centróide (coordenada x do centróide medida a partir da face esquerda);
    2. calcular I da seção em torno do eixo vertical que passa pelo centróide (usar soma de retângulos + teorema dos eixos paralelos);
    3. calcular x_D-x_{centro} e aplicar \sigma=\dfrac{M(x_D-x_{centro})}{I}.
      Vou proceder passo a passo com cálculos explicados.

Passo 3

Calcular áreas das partes (divisão em retângulos) e posição do centróide (explico como).
  • Modelo da seção: três retângulos que se sobrepõem apropriadamente:
    • Alma (web): retângulo de largura b_w=36\\ \mathrm{mm} e altura h_w=180\\ \mathrm{mm}.
    • Flange superior: retângulo de largura b_f=120\\ \mathrm{mm} e espessura t_f=30\\ \mathrm{mm}.
    • Flange inferior: idêntico ao superior.
  • Áreas: A_w = b_w h_w = 36\cdot180 = 6480\\ \mathrm{mm}^2,
A_{f} = b_f t_f = 120\cdot30 = 3600\\ \mathrm{mm}^2\quad(\text{cada flange}).
  • Coordenadas x dos centróides de cada retângulo, medidas a partir da face esquerda ( x=0 na face esquerda da alma): x_w=\frac{b_w}{2}=18\\ \mathrm{mm}, \qquad x_{f}=\frac{b_f}{2}=60\\ \mathrm{mm}.
  • Coordenada x do centróide da seção composta (média ponderada pelas áreas): x_{c}=\frac{A_w x_w + A_f x_{f}+ A_f x_{f}}{A_w+2A_f}.Substituindo: x_{c}=\frac{6480\cdot18 + 3600\cdot60 +3600\cdot60}{6480+3600+3600} =\frac{548640}{13680}=40{,}105263\\ \mathrm{mm}.(Arredondando, x_c\approx40{,}11\\ \mathrm{mm} da face esquerda.)
    • Observação: aqui eu peguei as áreas e posições diretamente da geometria mostrada na figura.

Passo 4

Explicação e fórmula do momento de inércia para retângulo em relação ao eixo vertical que passa pelo seu centróide.
  • Para um retângulo cuja largura na direção x é b e altura na direção y é h, o momento de inércia em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide (isto é, I calculado por \int x^2 dA) é
I_{\text{rect,centro}}=\frac{h\,b^3}{12}.
  • Se o eixo de interesse não passa pelo centróide do retângulo, usa-se o teorema dos eixos paralelos:
I_{\text{retângulo em eixo deslocado}}=I_{\text{rect,centro}} + A\,d^2,â
onde d é a distância entre os dois eixos (neste caso, a diferença entre as abscissas dos centróides).

Passo 5

Calcular os momentos de inércia de cada peça em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide da seção composta.
  • Primeiro calculo os I centrais de cada retângulo (em \mathrm{mm}^4):
    • Alma (web):
    I_{w,cent}=\frac{h_w\,b_w^3}{12}=\frac{180\cdot36^3}{12} =699\,840\\ \mathrm{mm}^4.
    • Flange (cada):
    I_{f,cent}=\frac{t_f\,b_f^3}{12}=\frac{30\cdot120^3}{12}=4\,320\,000\\ \mathrm{mm}^4.
  • Agora as distâncias d dos centróides de cada retângulo até o centróide da seção: d_w = x_w - x_c = 18 - 40{,}105263 = -22{,}105263\\ \mathrm{mm},
d_f = x_f - x_c = 60 - 40{,}105263 = 19{,}894737\\ \mathrm{mm}.
(Usei os valores de x_w,x_f,x_c calculados antes; note que só importa d^2.)
  • Aplicando o teorema dos eixos paralelos para cada peça:
    • Alma:
    I_w = I_{w,cent}+A_w d_w^2 =699\,840 + 6480\cdot(22{,}105263)^2 \approx3\,866\,247\\ \mathrm{mm}^4.
    • Flange superior:
    I_{f,top}=4\,320\,000 + 3600\cdot(19{,}894737)^2 \approx5\,744\,844\\ \mathrm{mm}^4.
    • Flange inferior: mesma contribuição que a superior,
    I_{f,bottom}\approx5\,744\,844\\ \mathrm{mm}^4.
  • Somando as contribuições: I_{\text{total}}=I_w + I_{f,top}+I_{f,bottom} \approx 3\,866\,247 + 5\,744\,844 + 5\,744\,844 =15\,355\,935\\ \mathrm{mm}^4.(Arredondado: I\approx1{,}5356\times10^{7}\\ \mathrm{mm}^4.)

Passo 6

Calcular a distância horizontal do centróide até o ponto D e aplicar a fórmula da tensão.
  • A abscissa do ponto D medida a partir da face esquerda é x_D=120\\ \mathrm{mm} (peguei da imagem).
  • Distância do centróide até D: x_D - x_c = 120 - 40{,}105263 = 79{,}894737\\ \mathrm{mm}.(Peguei x_c do Passo 3.)
  • Converter o momento para unidades compatíveis: M=25\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=25\,000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}=25{,}000{,}000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}.
  • Aplicar \sigma=\frac{M\,(x_D-x_c)}{I}.Substituindo: \sigma=\frac{25{,}000{,}000\cdot 79{,}894737}{15\,355\,935} \\ \mathrm{N/mm}^2.Calculando numérico: \sigma\approx 130{,}1\\ \mathrm{N/mm}^2.Ou seja \sigma\approx130{,}1\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Interpretação do sinal (breve comentário).
  • Aqui calculei o módulo e usei a fórmula \sigma=\dfrac{M(x-x_c)}{I} com x_D-x_c>0. Se o momento M tiver o sentido que comprime o lado direito, a tensão será compressiva; se tiver sentido oposto será tração. O enunciado pede "a tensão no ponto D" — o valor numérico é aproximadamente 130{,}1\\ \mathrm{MPa} (com sinal dependendo do sentido do momento).

Resposta

\displaystyle \sigma_D \approx 130{,}1\\ \mathrm{MPa}

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