O módulo da força Fé 600 N . Expresse F como um vetor, em termos dos vetores unitários i e j. Identifique os componentes escalares e vetoriais de F em x e y. (MERIAM \mathbf{6}^{\boldsymbol{\circ}} ED, Pág. 25).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Expressar a força como vetor nos vetores unitários \mathbf{i} e \mathbf{j}.
  • Identificar os componentes escalares e os componentes vetoriais da força nas direções x e y.
Informações relevantes fornecidas (peguei estes dados da imagem):
  • Módulo da força: \,F=600\\ \mathrm{N}.
  • A força está numa reta que faz um ângulo de 30^\circ com a horizontal, inclinada para baixo à direita (o ângulo indicado junto ao ponto A é 30^\circ).
  • Na figura há o ponto A(-3,1) e a origem O (essas coordenadas estão na imagem).
Observação: para decompor a força só são necessários o módulo 600\\ \mathrm{N} e o ângulo 30^\circ (as coordenadas de A não serão necessárias para calcular os componentes).

Passo 2

Conceito e fórmula — por que podemos decompor a força com seno e cosseno:
  • Um vetor no plano pode ser decomposto nas direções ortogonais x e y. Os vetores unitários dessas direções são \mathbf{i} (eixo x) e \mathbf{j} (eixo y).
  • Se um vetor de módulo F faz um ângulo \theta com o eixo x (ângulo medido no sentido anti-horário; se for abaixo, \theta é negativo), então as projeções (componentes escalares) são dadas por: F_x = F\cos\theta,\qquad F_y = F\sin\theta.Explicação curta e intuitiva: desenhando a projeção ortogonal do vetor sobre o eixo x obtém-se o cateto adjacente ao ângulo \theta (por isso usa-se \cos); a projeção sobre y é o cateto oposto (por isso \sin). Essas fórmulas vêm diretamente da definição de seno e cosseno num triângulo retângulo.
Aplicando ao nosso caso:
  • Pela imagem, o ângulo é 30^\circ abaixo da horizontal para a direita, ou seja, podemos usar \theta=-30^\circ (ângulo medido a partir do eixo positivo x no sentido anti-horário). Vou usar \theta=-30^\circ.
  • Portanto F_x = 600\cos(-30^\circ),\qquad F_y = 600\sin(-30^\circ).
  • Lembrando identidades trigonométricas úteis: \cos(-30^\circ)=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin(-30^\circ)=-\sin 30^\circ=-\frac{1}{2}.

Passo 3

Cálculo dos componentes escalares (mostrando passo a passo):
  • Para F_x: F_x = 600\cos(-30^\circ)=600\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=300\sqrt{3}\\ \mathrm{N}.
  • Para F_y: F_y = 600\sin(-30^\circ)=600\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-300\\ \mathrm{N}.
Valores aproximados (úteis para conferir):
300\sqrt{3}\approx 300\cdot1{,}732\approx 519{,}62\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Escrever a força como vetor em \mathbf{i} e \mathbf{j} e identificar componentes vetoriais:
  • Componente vetorial na direção x: 300\sqrt{3}\,\mathbf{i}\\ \mathrm{N}.
  • Componente vetorial na direção y: -300\,\mathbf{j}\\ \mathrm{N}.
  • Soma das componentes (vetor força): \mathbf{F}=300\sqrt{3}\,\mathbf{i}-300\,\mathbf{j}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Verificação rápida (cheque de consistência):
  • Verificar que o módulo da soma das componentes volta a 600\\ \mathrm{N}: \sqrt{(300\sqrt{3})^2+(-300)^2}=\sqrt{270000+90000}=\sqrt{360000}=600\\ \mathrm{N},correto.

Resposta

\mathbf{F}=300\sqrt{3}\,\mathbf{i}-300\,\mathbf{j}\\ \mathrm{N}
Componentes escalares: F_x=300\sqrt{3}\\ \mathrm{N},\; F_y=-300\\ \mathrm{N}
Componentes vetoriais: \mathbf{F}_x=300\sqrt{3}\,\mathbf{i}\\ \mathrm{N},\; \mathbf{F}_y=-300\,\mathbf{j}\\ \mathrm{N}

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