Durante um teste de motor no solo, um empuxo 73000 N6 gerado sobre o avião de 1500 kg e com centro de massa em G. As rodas principais em B estão bloqueadas e não deslizam; a pequena roda sob a cauda em A não tem freio. Calcule a variação percentual nas forças normais em A e B quando comparadas com os seus valores quando o motor do avião está desligado. (MERIAM 6^{\circ} ED, Pág. 102).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a variação percentual nas forças normais em A e em B quando o motor está ligado, comparando com os seus valores quando o motor está desligado.
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem e do enunciado):
  • Massa da aeronave: m=1500\\ \text{kg}.
  • Empuxo/força de tração: T=7300\\ \text{N} (extraí do enunciado).
  • Direção do empuxo: \theta=12^\circ acima da horizontal (peguei da imagem).
  • A altura da linha de ação do empuxo acima do solo: h=1{,}4\\ \text{m} (peguei da imagem).
  • Distâncias horizontais (peguei da imagem):
    • distância entre a roda de cauda A e a linha vertical passando por G: 4{,}0\\ \text{m};
    • distância entre a linha vertical passando por G e as rodas principais B: 0{,}8\\ \text{m}.
    • portanto a distância entre A e B é 4{,}8\\ \text{m}.
  • Centro de massa localizado em G (verticalmente sobre a fuselagem), com a distância horizontal para B igual a 0{,}8\\ \text{m} (conforme a imagem).
O que vamos calcular concretamente:
  • Primeiro os valores das reações normais N_A e N_B com o motor desligado (caso base).
  • Depois N_A e N_B com o motor ligado (incluindo componentes de T e o momento criado pelo componente horizontal).
  • Finalmente, as variações percentuais \Delta N_A\% e \Delta N_B\% em relação ao caso desligado.

Passo 2

Calcular o peso da aeronave (força peso):
W = m g
onde m é a massa e g=9{,}81\\ \text{m/s}^2 é a aceleração da gravidade. Substituindo:
W = 1500\cdot 9{,}81 = 14715\\ \text{N}.
Explicação didática: aqui usamos a fórmula básica da força peso; é a força vertical para baixo aplicada no centro de massa G.

Passo 3

Caso motor desligado ( T=0): equilíbrio estático vertical e de momentos.
  • Equilíbrio vertical:
N_{A0}+N_{B0}=W.
  • Equilíbrio de momentos em relação a B (para eliminar N_{B0} e encontrar N_{A0}):
    tomando momento positivo no sentido que faz o lado esquerdo cair (convencional; na prática usamos a relação geométrica),
N_{A0}\,(4{,}8)-W\,(0{,}8)=0.
Daí:
N_{A0}=\frac{W\cdot 0{,}8}{4{,}8}=\frac{0{,}8}{4{,}8}W=\frac{1}{6}W.
Substituindo W:
N_{A0}=\frac{1}{6}\cdot 14715 = 2452{,}5\\ \text{N}.
E então
N_{B0}=W-N_{A0}=14715-2452{,}5=12262{,}5\\ \text{N}.
Explicação didática: ao desligar o motor só temos peso sendo suportado pelas duas rodas. O momento do peso em relação a B é equilibrado pela reação em A. A distância usada para o momento é a distância horizontal entre os pontos.

Passo 4

Com motor ligado: decomposição do empuxo T em componentes horizontal e vertical.
  • Componentes:
T_x = T\cos\theta,\qquad T_y = T\sin\theta,
com \theta=12^\circ.
Calculemos numericamente:
\cos 12^\circ\approx 0{,}978148,\qquad \sin 12^\circ\approx 0{,}207912.
T_x = 7300\cdot 0{,}978148 \approx 7136{,}47\\ \text{N},
T_y = 7300\cdot 0{,}207912 \approx 1516{,}56\\ \text{N}.
Explicação didática: a força de empuxo na hélice não é puramente horizontal; uma pequena componente é vertical para cima (por causa dos 12^\circ), o que reduz a carga vertical total que as rodas precisam suportar. A componente horizontal tende a empurrar a fuselagem para a frente; como essa força age em um ponto acima do solo, ela gera um momento (torque) que altera a distribuição das reações normais entre A e B.

Passo 5

Equilíbrios com motor ligado: escrever as equações e justificar cada termo.
  • Equilíbrio vertical (somando forças verticais = 0):
N_A+N_B+T_y - W = 0 \quad\Rightarrow\quad N_A+N_B = W - T_y.
Explicação: T_y aponta para cima, reduz o somatório das normais necessário para equilibrar W.
  • Equilíbrio de momentos em relação a B (escolhemos B para não ter N_B na equação):
    os termos que produzem momento em torno de B (com B como origem):
    • W (para baixo) em G, situada a 0{,}8\\ \text{m} à esquerda de B: momento +W\cdot 0{,}8 (sinal convencional, gera tendência de “cair” do lado esquerdo).
    • T_y (para cima) em G a 0{,}8\\ \text{m} à esquerda: momento -T_y\cdot 0{,}8 (opõe-se ao momento de W).
    • O componente horizontal T_x aplicado a uma altura h=1{,}4\\ \text{m} acima do solo produz um momento em torno de B igual a -T_x\cdot h (sinal negativo: essa força horizontal tende a girar a fuselagem no sentido que aumenta a carga em A — ver desenho e regra do produto vetorial).
    • N_A (para cima) em A, à 4{,}8\\ \text{m} à esquerda: momento -N_A\cdot 4{,}8.
      Somando tudo igual a zero:
W(0{,}8) - T_y(0{,}8) - T_x(1{,}4) - N_A(4{,}8) = 0.
Isolando N_A:
N_A = \frac{0{,}8\,(W - T_y) - 1{,}4\,T_x}{4{,}8}.
Explicação didática passo a passo: cada termo da equação de momento é o produto de uma força pelo seu braço (distância perpendicular ao ponto de rotação). O peso tem braço 0{,}8 m; o empuxo vertical atua no mesmo ponto G (logo também braço 0{,}8 m), e o empuxo horizontal tem braço vertical 1{,}4 m (pois a força é horizontal e aplicada acima do ponto de contato). O sinal de cada termo depende se a força tende a girar o corpo no sentido horário ou anti-horário; aqui seguimos a convenção usada para montar a equação.

Passo 6

Substituir valores numéricos na expressão de N_A.
Usando W=14715\\ \text{N}, T_y\approx 1516{,}56\\ \text{N}, T_x\approx 7136{,}47\\ \text{N}:
N_A = \frac{0{,}8\,(14715 - 1516{,}56) - 1{,}4\cdot 7136{,}47}{4{,}8}.
Calculemos passo a passo:
14715 - 1516{,}56 = 13198{,}44,
0{,}8\cdot 13198{,}44 = 10558{,}752,
1{,}4\cdot 7136{,}47 = 9989{,}058,
\text{numerador} = 10558{,}752 - 9989{,}058 = 569{,}694.
N_A = \frac{569{,}694}{4{,}8} \approx 118{,}69\\ \text{N}.
Interpretação rápida: o valor de N_A caiu muito — o empuxo e o momento criado pelo componente horizontal praticamente descarregam a roda de cauda.

Passo 7

Calcular N_B pelo equilíbrio vertical:
N_B = W - T_y - N_A.
Substituindo:
N_B = 14715 - 1516{,}56 - 118{,}69 \approx 13079{,}75\\ \text{N}.
Comparação com o caso desligado: lembrando N_{A0}=2452{,}5\\ \text{N} e N_{B0}=12262{,}5\\ \text{N}.

Passo 8

Calcular variações percentuais (definição que usaremos):
\Delta N\% = \frac{N_{\text{ligado}}-N_{\text{desligado}}}{N_{\text{desligado}}}\times 100\%.
  • Para A:
\Delta N_A\% = \frac{118{,}69 - 2452{,}5}{2452{,}5}\times 100\% \approx -95{,}16\%.
Ou seja, a reação em A diminuiu cerca de 95{,}2\%.
  • Para B:
\Delta N_B\% = \frac{13079{,}75 - 12262{,}5}{12262{,}5}\times 100\% \approx 6{,}67\%.
Ou seja, a reação em B aumentou cerca de 6{,}67\%.
Explicação didática final: o empuxo horizontal alto aplicado acima do solo cria um momento que transfere carga das rodas traseiras para as rodas principais; por isso N_A praticamente some e N_B aumenta levemente. A componente vertical do empuxo reduz a carga total que as rodas suportam, mas o efeito de momento é predominante para descarregar A.

Passo 9

Resumo numérico dos valores (para referência rápida):
N_{A0}=2452{,}5\\ \text{N},\quad N_{B0}=12262{,}5\\ \text{N},
N_A\\ (\text{motor ligado})\approx 118{,}7\\ \text{N},\quad N_B\\ (\text{motor ligado})\approx 13079{,}8\\ \text{N}.
Força final: se por acaso quiser, dá pra checar a consistência somando verticalmente:
N_A+N_B+T_y \approx 118{,}7+13079{,}8+1516{,}6\approx 14715\\ \text{N}=W,
o que confirma equilíbrio vertical.

Resposta

A: -95{,}16\% (aprox. -95{,}2\%)
B: +6{,}67\% (aprox. +6{,}7\%)

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