Durante um teste de motor no solo, um empuxo 73000 N6 gerado sobre o avião de 1500 kg e com centro de massa em G. As rodas principais em B estão bloqueadas e não deslizam; a pequena roda sob a cauda em A não tem freio. Calcule a variação percentual nas forças normais em A e B quando comparadas com os seus valores quando o motor do avião está desligado. (MERIAM
ED, Pág. 102).
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a variação percentual nas forças normais em
e em quando o motor está ligado, comparando com os seus valores quando o motor está desligado.
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem e do enunciado):
- Massa da aeronave:
. - Empuxo/força de tração:
(extraí do enunciado). - Direção do empuxo:
acima da horizontal (peguei da imagem). - A altura da linha de ação do empuxo acima do solo:
(peguei da imagem). - Distâncias horizontais (peguei da imagem):
- distância entre a roda de cauda
e a linha vertical passando por : ; - distância entre a linha vertical passando por
e as rodas principais : . - portanto a distância entre
e é .
- distância entre a roda de cauda
- Centro de massa localizado em
(verticalmente sobre a fuselagem), com a distância horizontal para igual a (conforme a imagem).
O que vamos calcular concretamente:
- Primeiro os valores das reações normais
e com o motor desligado (caso base). - Depois
e com o motor ligado (incluindo componentes de e o momento criado pelo componente horizontal). - Finalmente, as variações percentuais
e em relação ao caso desligado.
Passo 2
Calcular o peso da aeronave (força peso):
onde
é a massa e
é a aceleração da gravidade. Substituindo:
Explicação didática: aqui usamos a fórmula básica da força peso; é a força vertical para baixo aplicada no centro de massa
.
Passo 3
Caso motor desligado (
): equilíbrio estático vertical e de momentos.
- Equilíbrio vertical:
- Equilíbrio de momentos em relação a
(para eliminar e encontrar ):
tomando momento positivo no sentido que faz o lado esquerdo cair (convencional; na prática usamos a relação geométrica),
Daí:
Substituindo
:
E então
Explicação didática: ao desligar o motor só temos peso sendo suportado pelas duas rodas. O momento do peso em relação a
é equilibrado pela reação em
. A distância usada para o momento é a distância horizontal entre os pontos.
Passo 4
Com motor ligado: decomposição do empuxo
em componentes horizontal e vertical.
- Componentes:
com
.
Calculemos numericamente:
Calculemos numericamente:
Explicação didática: a força de empuxo na hélice não é puramente horizontal; uma pequena componente é vertical para cima (por causa dos
), o que reduz a carga vertical total que as rodas precisam suportar. A componente horizontal tende a empurrar a fuselagem para a frente; como essa força age em um ponto acima do solo, ela gera um momento (torque) que altera a distribuição das reações normais entre
e
.
Passo 5
Equilíbrios com motor ligado: escrever as equações e justificar cada termo.
- Equilíbrio vertical (somando forças verticais = 0):
Explicação:
aponta para cima, reduz o somatório das normais necessário para equilibrar
.
- Equilíbrio de momentos em relação a
(escolhemos para não ter na equação):
os termos que produzem momento em torno de(com como origem): -
(para baixo) em , situada a à esquerda de : momento (sinal convencional, gera tendência de “cair” do lado esquerdo). -
(para cima) em a à esquerda: momento (opõe-se ao momento de ). - O componente horizontal
aplicado a uma altura acima do solo produz um momento em torno de igual a (sinal negativo: essa força horizontal tende a girar a fuselagem no sentido que aumenta a carga em — ver desenho e regra do produto vetorial). -
(para cima) em , à à esquerda: momento .
Somando tudo igual a zero:
-
Isolando
:
Explicação didática passo a passo: cada termo da equação de momento é o produto de uma força pelo seu braço (distância perpendicular ao ponto de rotação). O peso tem braço
m; o empuxo vertical atua no mesmo ponto
(logo também braço
m), e o empuxo horizontal tem braço vertical
m (pois a força é horizontal e aplicada acima do ponto de contato). O sinal de cada termo depende se a força tende a girar o corpo no sentido horário ou anti-horário; aqui seguimos a convenção usada para montar a equação.
Passo 6
Substituir valores numéricos na expressão de
.
Usando ,
,
:
Usando
Calculemos passo a passo:
Interpretação rápida: o valor de
caiu muito — o empuxo e o momento criado pelo componente horizontal praticamente descarregam a roda de cauda.
Passo 7
Calcular
pelo equilíbrio vertical:
Substituindo:
Comparação com o caso desligado: lembrando
e
.
Passo 8
Calcular variações percentuais (definição que usaremos):
- Para
:
Ou seja, a reação em
diminuiu cerca de
.
- Para
:
Ou seja, a reação em
aumentou cerca de
.
Explicação didática final: o empuxo horizontal alto aplicado acima do solo cria um momento que transfere carga das rodas traseiras para as rodas principais; por isso
praticamente some e
aumenta levemente. A componente vertical do empuxo reduz a carga total que as rodas suportam, mas o efeito de momento é predominante para descarregar
.
Passo 9
Resumo numérico dos valores (para referência rápida):
Força final: se por acaso quiser, dá pra checar a consistência somando verticalmente:
o que confirma equilíbrio vertical.
Resposta
A:
(aprox.
)
B: (aprox.
)
B: