Dois objetos são lançados verticalmente do solo, o primeiro com velocidade
e o segundo com velocidade
após um intervalo de tempo
. Determine o instante de encontro.
Passo 1
O enunciado dá estas informações:
- Dois objetos são lançados verticalmente a partir do solo.
- O primeiro é lançado em
com velocidade inicial . - O segundo é lançado em
com velocidade inicial . - A aceleração da gravidade é constante e vale
(direção para baixo).
O que se pede: - Determinar o instante
(medido a partir do lançamento do primeiro, ou seja, é o lançamento do primeiro) em que os dois objetos se encontram (tem a mesma altura).
Passo 2
Vamos escrever a equação de movimento vertical com aceleração constante. A fórmula geral para a posição vertical é
onde:
-
é a posição no instante , -
é a posição inicial, -
é a velocidade inicial (no eixo vertical, positiva para cima), -
é a aceleração (aqui ).
Para o primeiro objeto: parte do solo (
), velocidade inicial
, aceleração
. Assim, para todo
,
Passo 3
Para o segundo objeto: ele só começa a se mover a partir de
. Se definirmos o tempo decorrido desde o lançamento do segundo como
(válido para
), então, partindo do solo (
) e com velocidade inicial
,
Passo 4
Condição de encontro: as alturas são iguais no mesmo instante
,
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro expandir e reorganizar. Subtraindo o lado direito do esquerdo:
Calculemos a diferença de quadrados:
Substituindo:
Passo 5
Agora agrupar os termos em
:
Colocando os termos em
em evidência:
Isolando
:
Multiplicando numerador e denominador por
para uma forma mais simétrica:
Passo 6
Interpretação e cuidados práticos:
- A expressão encontrada dá o instante contado desde o lançamento do primeiro objeto.
- Deve-se verificar que o resultado satisfaz
(pois o segundo objeto só existe para ). Se a fórmula der , significa que, com os dados fornecidos, eles não chegam a se encontrar depois do lançamento do segundo. - Caso o denominador
, a fórmula é singular. Nessa situação: - Se o numerador for diferente de zero, não há solução (eles não se encontram).
- Se o numerador também for zero, a equação de encontro fica identicamente satisfeita para todo
, o que indica que as trajetórias coincidem a partir do instante (caso degenerado).