Dois objetos são lançados verticalmente do solo, o primeiro com velocidade v_{1} e o segundo com velocidade v_{2} após um intervalo de tempo \Delta t. Determine o instante de encontro.

Passo 1

O enunciado dá estas informações:
  • Dois objetos são lançados verticalmente a partir do solo.
  • O primeiro é lançado em t=0 com velocidade inicial \,v_{1}.
  • O segundo é lançado em t=\Delta t com velocidade inicial \,v_{2}.
  • A aceleração da gravidade é constante e vale g (direção para baixo).
    O que se pede:
  • Determinar o instante t (medido a partir do lançamento do primeiro, ou seja, t=0 é o lançamento do primeiro) em que os dois objetos se encontram (tem a mesma altura).

Passo 2

Vamos escrever a equação de movimento vertical com aceleração constante. A fórmula geral para a posição vertical é
y(t)=y_{0}+v_{0}\,t+\tfrac{1}{2}a\,t^{2},
onde:
  • y(t) é a posição no instante t,
  • y_{0} é a posição inicial,
  • v_{0} é a velocidade inicial (no eixo vertical, positiva para cima),
  • a é a aceleração (aqui a=-g).
Para o primeiro objeto: parte do solo ( y_{0}=0), velocidade inicial \,v_{1}, aceleração -g. Assim, para todo t\ge0,
y_{1}(t)=v_{1}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.

Passo 3

Para o segundo objeto: ele só começa a se mover a partir de t=\Delta t. Se definirmos o tempo decorrido desde o lançamento do segundo como t' = t-\Delta t (válido para t\ge\Delta t), então, partindo do solo ( y_{0}=0) e com velocidade inicial \,v_{2},
y_{2}(t)=v_{2}\,(t-\Delta t)-\tfrac{1}{2}g\,(t-\Delta t)^{2},\qquad t\ge\Delta t.

Passo 4

Condição de encontro: as alturas são iguais no mesmo instante t\ge\Delta t,
v_{1}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}=v_{2}\,(t-\Delta t)-\tfrac{1}{2}g\,(t-\Delta t)^{2}.
Vamos resolver essa equação para t. Primeiro expandir e reorganizar. Subtraindo o lado direito do esquerdo:
v_{1}t - v_{2}(t-\Delta t) -\tfrac{1}{2}g\bigl(t^{2}-(t-\Delta t)^{2}\bigr)=0.
Calculemos a diferença de quadrados:
t^{2}-(t-\Delta t)^{2}=t^{2}-\bigl(t^{2}-2t\Delta t+(\Delta t)^{2}\bigr)=2t\Delta t-(\Delta t)^{2}.
Substituindo:
v_{1}t - v_{2}t + v_{2}\Delta t -\tfrac{1}{2}g\bigl(2t\Delta t-(\Delta t)^{2}\bigr)=0.

Passo 5

Agora agrupar os termos em t:
\bigl(v_{1}-v_{2}\bigr)t + v_{2}\Delta t - g\,t\Delta t + \tfrac{1}{2}g(\Delta t)^{2}=0.
Colocando os termos em t em evidência:
\Bigl((v_{1}-v_{2})-g\Delta t\Bigr)t + v_{2}\Delta t + \tfrac{1}{2}g(\Delta t)^{2}=0.
Isolando t:
t=-\dfrac{v_{2}\Delta t + \tfrac{1}{2}g(\Delta t)^{2}}{(v_{1}-v_{2})-g\Delta t}.
Multiplicando numerador e denominador por -1 para uma forma mais simétrica:
t=\dfrac{\Delta t\!\left(v_{2}+\tfrac{1}{2}g\Delta t\right)}{g\Delta t+v_{2}-v_{1}}.

Passo 6

Interpretação e cuidados práticos:
  • A expressão encontrada dá o instante contado desde o lançamento do primeiro objeto.
  • Deve-se verificar que o resultado satisfaz t\ge\Delta t (pois o segundo objeto só existe para t\ge\Delta t). Se a fórmula der t<\Delta t, significa que, com os dados fornecidos, eles não chegam a se encontrar depois do lançamento do segundo.
  • Caso o denominador g\Delta t+v_{2}-v_{1}=0, a fórmula é singular. Nessa situação:
    • Se o numerador for diferente de zero, não há solução (eles não se encontram).
    • Se o numerador também for zero, a equação de encontro fica identicamente satisfeita para todo t\ge\Delta t, o que indica que as trajetórias coincidem a partir do instante \Delta t (caso degenerado).

Resposta

t=\dfrac{\Delta t\!\left(v_{2}+\tfrac{1}{2}g\Delta t\right)}{g\Delta t+v_{2}-v_{1}}

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