Uma partícula executa MCU com raio R e período T. Determine:
(a) Velocidade angular;
(b) Velocidade escalar;
(c) Aceleração centrípeta.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
  • Dado: uma partícula descreve movimento circular uniforme com raio \,R\, e período \,T\,.
  • Pedido:
    (a) determinar a velocidade angular;
    (b) determinar a velocidade escalar (linear);
    (c) determinar a aceleração centrípeta.

Passo 2

Entendendo o que é velocidade angular e como calculá‑la. Vou explicar devagarinho. A velocidade angular é a rapidez com que o ângulo (a posição angular) varia no tempo. Em termos formais, se \theta é o ângulo varrido, a velocidade angular média é
\omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}.
No MCU (movimento circular uniforme) a partícula completa uma volta inteira em um período \,T\,. Uma volta corresponde a um ângulo de 2\pi radianos, portanto ao considerar um intervalo \Delta t=T temos \Delta\theta=2\pi. Substituindo:
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Explicação das grandezas: \omega é a velocidade angular (unidade: rad/s), \,T\, é o período (s). Essa fórmula é direta e muito usada em prova — decora como “velocidade angular = 2\pi dividido pelo período”.

Passo 3

Derivando a velocidade escalar (velocidade linear) a partir do movimento circular. A velocidade escalar v é a razão entre o deslocamento ao longo da circunferência (comprimento de arco) e o tempo. Se uma partícula varre um ângulo \theta, o comprimento do arco é s=R\theta. Portanto a velocidade instantânea (no MCU) é
v=\frac{ds}{dt}=\frac{d(R\theta)}{dt}=R\frac{d\theta}{dt}=R\omega.
Ou seja, a relação fundamental é v=R\omega. Substituindo \omega=\dfrac{2\pi}{T} do passo anterior, obtemos também a forma prática
v=\frac{2\pi R}{T}.
Interpretação: a partícula percorre uma circunferência de comprimento 2\pi R em tempo T, então a velocidade escalar média (que no MCU é igual à instantânea) é 2\pi R/T. Unidade: m/s.

Passo 4

O que é a aceleração centrípeta e por que ela aparece. Mesmo com velocidade escalar constante no MCU, a direção da velocidade muda continuamente — isso exige uma aceleração apontando para o centro da curva, chamada aceleração centrípeta. A fórmula de módulo dessa aceleração, que pode ser obtida de várias maneiras (derivando o vetor velocidade ou por argumentos geométricos), é
a_c=\frac{v^{2}}{R}.
Aqui a_c é o módulo da aceleração centrípeta (unidade: m/s^2), v é a velocidade escalar e R o raio.

Passo 5

Expressões alternativas para a aceleração centrípeta em termos de \omega e de T. Usando v=R\omega na fórmula \,a_c=v^{2}/R\, temos
a_c=\frac{(R\omega)^{2}}{R}=R\omega^{2}.
Substituindo \omega=\dfrac{2\pi}{T} obtemos a forma em função do período:
a_c=R\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}=\frac{4\pi^{2}R}{T^{2}}.
Essas três formas \,a_c=\dfrac{v^{2}}{R}=\omega^{2}R=\dfrac{4\pi^{2}R}{T^{2}}\, são equivalentes; escolha a que for mais conveniente na prova.

Passo 6

Resumo prático e dica para decorar na prova (tratando como amigo):
  • Lembre: uma volta = 2\pi radianos.
  • As relações-chave que caem direto em questões são: \omega=\frac{2\pi}{T},\qquad v=R\omega=\frac{2\pi R}{T},\qquad a_c=\omega^{2}R=\frac{v^{2}}{R}=\frac{4\pi^{2}R}{T^{2}}.
Guarde pelo menos \omega=\dfrac{2\pi}{T} e v=R\omega; o resto sai por substituição. Vai dar certo — confia.

Resposta

(a) \displaystyle \omega=\frac{2\pi}{T}
(b) \displaystyle v=R\omega=\frac{2\pi R}{T}
(c) \displaystyle a_c=\omega^{2}R=\frac{v^{2}}{R}=\frac{4\pi^{2}R}{T^{2}}

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