Dois reservatórios estão ligados por uma canalização de ferro fundido ( \varepsilon=0,26 \mathrm{~mm} ), com 0,15 \mathrm{~m} de diâmetro e 360 metros de extensão. Determine o diâmetro necessário para escoar 23 \mathrm{~L} . \mathrm{s}^{-1} no momento em que a diferença de nível entre os dois reservatórios igualar-se a 9,30 \mathrm{~m}. Admitir a temperatura da água como sendo de 26^{\circ} \mathrm{C}. (vágua a { }_{260}=8,66 \times 10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo com calma):
  • Vazão: Q = 23\\ \mathrm{L\cdot s^{-1}} = 0,023\\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}.
  • Comprimento da canalização: L = 360\\ \mathrm{m}.
  • Rugosidade absoluta do ferro fundido: \varepsilon = 0,26\\ \mathrm{mm} = 0,00026\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura da água: 26^\circ\mathrm{C} (fornecem a viscosidade cinemática).
  • Viscosidade cinemática (fornecida): \nu = 8{,}66\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}.
  • Diferença de carga (nível) entre reservatórios: H = 9{,}30\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: g = 9{,}81\\ \mathrm{m\cdot s^{-2}} (valor padrão a adotar).
O que se pede:
  • Determinar o diâmetro interno necessário D para que, conectando os dois reservatórios por essa tubulação de comprimento L, a vazão Q ocorra quando a perda de carga por atrito na tubulação igualar H.
Informações relevantes extraídas do enunciado: os valores numéricos acima e a necessidade de relacionar perda de carga por atrito com a diferença de nível (ou seja, usar uma equação de perda de carga (Darcy–Weisbach) e a relação entre velocidade, vazão e diâmetro).

Passo 2

Plano de resolução e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas).
  1. Relação vazão ↔ velocidade ↔ diâmetro:
  • Área da secção circular: \displaystyle A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
  • Velocidade média no tubo: \displaystyle V=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^{2}}.
    Explicação: a vazão volumétrica Q é o volume por tempo que passa; dividir pelo área dá a velocidade média.
  1. Perda de carga por atrito (equação de Darcy–Weisbach):
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g}.
Aqui:
  • h_f é a perda de carga por atrito (em m);
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional);
  • L e D já definidos;
  • V é a velocidade média;
  • g é a gravidade.
    No escoamento entre dois reservatórios conectados por tubo homogêneo, a diferença de níveis H é usada para vencer exatamente as perdas (assumimos perdas localizadas desprezíveis), então:
H = h_f.
  1. Fator de atrito f:
  • Para escoamento fully turbulent/laminar, f depende do número de Reynolds \mathrm{Re} e da rugosidade relativa \varepsilon/D.
  • Número de Reynolds:
\mathrm{Re} = \frac{VD}{\nu}.
  • Uma fórmula prática e explícita que relaciona f com \mathrm{Re} e \varepsilon/D é a de Swamee–Jain (boa para engenharia porque evita resolver implicitamente a equação de Colebrook):
f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
Explicação: essa fórmula aproxima a solução implícita de Colebrook com erro pequeno para intervalos usuais (escoamentos turbulentos em tubulações comerciais). As partes da fórmula:
  • \varepsilon/(3{,}7D) representa a influência da rugosidade relativa;
  • 5{,}74/\mathrm{Re}^{0{,}9} representa efeito viscoso (importante em Reynolds mais baixos).
  1. Substituindo V em Darcy–Weisbach e rearranjando,
H = f\,\frac{L}{D}\,\frac{1}{2g}\left(\frac{4Q}{\pi D^{2}}\right)^{2} = f\,\frac{8LQ^{2}}{\pi^{2} g}\,\frac{1}{D^{5}}.
Isolando D temos a relação implícita
D^{5} = f\,\frac{8LQ^{2}}{\pi^{2} g H}.
Mas f depende de D via \mathrm{Re} e \varepsilon/D. Logo teremos que resolver essa equação de forma iterativa: supor um D, calcular V, \mathrm{Re}, f, obter nova estimativa de D pela equação acima e repetir até convergência.
Método escolhido: iteração fixa combinada com Swamee–Jain para f. Esse método é direto, converge rápido e é adequado para provas (pouquíssimas iterações).

Passo 3

Conversões numéricas iniciais e constantes:
Q = 0{,}023\\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}},\qquad L = 360\\ \mathrm{m},\qquad \varepsilon = 0{,}00026\\ \mathrm{m},
\nu = 8{,}66\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2\cdot s^{-1}},\qquad g = 9{,}81\\ \mathrm{m\cdot s^{-2}},\qquad H = 9{,}30\\ \mathrm{m}.
Escolho como chute inicial o diâmetro \displaystyle D^{(0)} = 0{,}15\\ \mathrm{m} (o enunciado menciona essa dimensão; é um palpite razoável para iniciar a iteração).
Agora faço iterações. Em cada iteração k:
  1. A=\dfrac{\pi (D^{(k)})^{2}}{4}.
  2. V^{(k)}=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{4Q}{\pi (D^{(k)})^{2}}.
  3. \mathrm{Re}^{(k)} = \dfrac{V^{(k)}D^{(k)}}{\nu}.
  4. f^{(k)}=0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D^{(k)}}+\dfrac{5{,}74}{(\mathrm{Re}^{(k)})^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
  5. Nova estimativa:
D^{(k+1)} = \left( f^{(k)}\,\dfrac{8LQ^{2}}{\pi^{2} g H}\right)^{1/5}.
Vou mostrar as contas com precisão razoável (arredondando poucas casas quando conveniente).
Iteração 0 → 1 (chute D^{(0)}=0{,}15\\ \mathrm{m}):
  • Área:
A^{(0)}=\frac{\pi (0{,}15)^{2}}{4}=0{,}017671\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade:
V^{(0)}=\frac{0{,}023}{0{,}017671}=1{,}301\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
  • Reynolds:
\mathrm{Re}^{(0)}=\frac{1{,}301\cdot0{,}15}{8{,}66\times10^{-7}} \approx 2{,}25\times10^{5}.
  • Termos para Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D^{(0)}}=\frac{0{,}00026}{3{,}7\cdot0{,}15}=0{,}000468, \qquad \frac{5{,}74}{(\mathrm{Re}^{(0)})^{0{,}9}}\approx 8{,}80\times10^{-5}.
  • Soma e logaritmo:
\text{soma}=0{,}000468+8{,}80\times10^{-5}=0{,}000556, \qquad \log_{10}(\text{soma})\approx -3{,}255.
  • Fator de atrito:
f^{(0)}=0{,}25/(-3{,}255)^{2}\approx 0{,}02358.
  • Constante comum:
C=\frac{8LQ^{2}}{\pi^{2} g H} =\frac{8\cdot360\cdot(0{,}023)^{2}}{\pi^{2}\cdot9{,}81\cdot9{,}30} \approx 0{,}0016949.
  • Nova D:
D^{(1)}=\left(f^{(0)}\,C\right)^{1/5}=\left(0{,}02358\cdot0{,}0016949\right)^{1/5} =(3{,}995\times10^{-5})^{1/5}\approx 0{,}1320\\ \mathrm{m}.
Iteração 1 → 2 (usar D^{(1)}=0{,}1320\\ \mathrm{m}):
  • Área:
A^{(1)}=\frac{\pi (0{,}1320)^{2}}{4}=0{,}013683\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade:
V^{(1)}=\frac{0{,}023}{0{,}013683}=1{,}680\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
  • Reynolds:
\mathrm{Re}^{(1)}=\frac{1{,}680\cdot0{,}1320}{8{,}66\times10^{-7}}\approx 2{,}56\times10^{5}.
  • Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D^{(1)}}=\frac{0{,}00026}{3{,}7\cdot0{,}1320}=0{,}0005325,
\frac{5{,}74}{(\mathrm{Re}^{(1)})^{0{,}9}}\approx 7{,}84\times10^{-5},
\text{soma}=0{,}0006103,\quad \log_{10}(\text{soma})\approx -3{,}214.
f^{(1)}=0{,}25/(-3{,}214)^{2}\approx 0{,}02419.
  • Nova D:
D^{(2)}=\left(0{,}02419\cdot0{,}0016949\right)^{1/5}=(4{,}101\times10^{-5})^{1/5}\approx 0{,}1327\\ \mathrm{m}.
Iteração 2 → 3 (usar D^{(2)}=0{,}1327\\ \mathrm{m}):
  • Área:
A^{(2)}=\frac{\pi (0{,}1327)^{2}}{4}=0{,}01384\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade:
V^{(2)}=\frac{0{,}023}{0{,}01384}=1{,}662\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
  • Reynolds:
\mathrm{Re}^{(2)}=\frac{1{,}662\cdot0{,}1327}{8{,}66\times10^{-7}}\approx 2{,}55\times10^{5}.
  • Swamee–Jain (valores muito próximos aos da iteração anterior):
\frac{\varepsilon}{3{,}7D^{(2)}}\approx 0{,}000530, \qquad \frac{5{,}74}{(\mathrm{Re}^{(2)})^{0{,}9}}\approx 7{,}96\times10^{-5},
\text{soma}\approx 0{,}0006094,\quad \log_{10}(\text{soma})\approx -3{,}215,
f^{(2)}\approx 0{,}02417.
  • Nova D:
D^{(3)}=\left(0{,}02417\cdot0{,}0016949\right)^{1/5}\approx 0{,}13266\\ \mathrm{m}.
A diferença entre D^{(2)} e D^{(3)} já é desprezível (ordem 10^{-4} m), logo a iteração convergiu. Tomamos como solução:
D \approx 0{,}1327\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Interpretação final e resultado arredondado para uma medida prática:
  • O diâmetro interno calculado é D \approx 0{,}1327\\ \mathrm{m}, ou seja, cerca de 132{,}7\\ \mathrm{mm}.
  • Em escolha comercial de tubos costuma-se adotar um diâmetro comercial padrão; o valor calculado corresponde a um tubo de aproximadamente 133\\ \mathrm{mm}. Se for escolher um diâmetro comercial imediatamente superior (para garantir a vazão com folga), pode-se adotar D=0{,}14\\ \mathrm{m} (140 mm) por exemplo; mas a resposta matemática do problema é o valor calculado acima.

Resposta

D \approx 0{,}1327\\ \mathrm{m} (aproximadamente 133\\ \mathrm{mm}).

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