Dois reservatórios estão ligados por uma canalização de ferro fundido (
), com
de diâmetro e 360 metros de extensão. Determine o diâmetro necessário para escoar
no momento em que a diferença de nível entre os dois reservatórios igualar-se a
. Admitir a temperatura da água como sendo de
. (vágua a
).
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo com calma):
- Vazão:
. - Comprimento da canalização:
. - Rugosidade absoluta do ferro fundido:
. - Temperatura da água:
(fornecem a viscosidade cinemática). - Viscosidade cinemática (fornecida):
. - Diferença de carga (nível) entre reservatórios:
. - Aceleração da gravidade:
(valor padrão a adotar).
O que se pede:
- Determinar o diâmetro interno necessário
para que, conectando os dois reservatórios por essa tubulação de comprimento , a vazão ocorra quando a perda de carga por atrito na tubulação igualar .
Informações relevantes extraídas do enunciado: os valores numéricos acima e a necessidade de relacionar perda de carga por atrito com a diferença de nível (ou seja, usar uma equação de perda de carga (Darcy–Weisbach) e a relação entre velocidade, vazão e diâmetro).
Passo 2
Plano de resolução e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas).
- Relação vazão ↔ velocidade ↔ diâmetro:
- Área da secção circular:
. - Velocidade média no tubo:
.
Explicação: a vazão volumétricaé o volume por tempo que passa; dividir pelo área dá a velocidade média.
- Perda de carga por atrito (equação de Darcy–Weisbach):
Aqui:
-
é a perda de carga por atrito (em m); -
é o fator de atrito de Darcy (adimensional); -
e já definidos; -
é a velocidade média; -
é a gravidade.
No escoamento entre dois reservatórios conectados por tubo homogêneo, a diferença de níveisé usada para vencer exatamente as perdas (assumimos perdas localizadas desprezíveis), então:
- Fator de atrito
:
- Para escoamento fully turbulent/laminar,
depende do número de Reynolds e da rugosidade relativa . - Número de Reynolds:
- Uma fórmula prática e explícita que relaciona
com e é a de Swamee–Jain (boa para engenharia porque evita resolver implicitamente a equação de Colebrook):
Explicação: essa fórmula aproxima a solução implícita de Colebrook com erro pequeno para intervalos usuais (escoamentos turbulentos em tubulações comerciais). As partes da fórmula:
-
representa a influência da rugosidade relativa; -
representa efeito viscoso (importante em Reynolds mais baixos).
- Substituindo
em Darcy–Weisbach e rearranjando,
Isolando
temos a relação implícita
Mas
depende de
via
e
. Logo teremos que resolver essa equação de forma iterativa: supor um
, calcular
,
,
, obter nova estimativa de
pela equação acima e repetir até convergência.
Método escolhido: iteração fixa combinada com Swamee–Jain para
. Esse método é direto, converge rápido e é adequado para provas (pouquíssimas iterações).
Passo 3
Conversões numéricas iniciais e constantes:
Escolho como chute inicial o diâmetro
(o enunciado menciona essa dimensão; é um palpite razoável para iniciar a iteração).
Agora faço iterações. Em cada iteração
:
-
. -
. -
. -
. - Nova estimativa:
Vou mostrar as contas com precisão razoável (arredondando poucas casas quando conveniente).
Iteração 0 → 1 (chute
):
- Área:
- Velocidade:
- Reynolds:
- Termos para Swamee–Jain:
- Soma e logaritmo:
- Fator de atrito:
- Constante comum:
- Nova
:
Iteração 1 → 2 (usar
):
- Área:
- Velocidade:
- Reynolds:
- Swamee–Jain:
- Nova
:
Iteração 2 → 3 (usar
):
- Área:
- Velocidade:
- Reynolds:
- Swamee–Jain (valores muito próximos aos da iteração anterior):
- Nova
:
A diferença entre
e
já é desprezível (ordem
m), logo a iteração convergiu. Tomamos como solução:
Passo 4
Interpretação final e resultado arredondado para uma medida prática:
- O diâmetro interno calculado é
, ou seja, cerca de . - Em escolha comercial de tubos costuma-se adotar um diâmetro comercial padrão; o valor calculado corresponde a um tubo de aproximadamente
. Se for escolher um diâmetro comercial imediatamente superior (para garantir a vazão com folga), pode-se adotar (140 mm) por exemplo; mas a resposta matemática do problema é o valor calculado acima.