Dimensione uma tubulação de polietileno de 300 m de comprimento para operar um emissor na pressão de 5 m e vazão de
, sabendo que a diferença de nível entre o reservatório e o emissor é de 21 m . Desconsidere as perdas de carga localizada e considere a viscosidade cinemática de
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que dá (dados que vou usar):
- Pedem dimensionar a tubulação (ou seja, achar o diâmetro interno
) para transportar a vazão do emissor. - Comprimento da tubulação:
. - Vazão do emissor:
. - Pressão necessária no emissor (expressa em metros de coluna d’água):
. - Diferença de nível entre reservatório e emissor:
. - Viscosidade cinemática:
. - Desconsiderar perdas localizadas.
- O que eu vou calcular: o diâmetro interno
tal que a perda de carga por atrito ao longo de consuma a cabeça disponível. Cabeça disponível para vencer perda de carga:
Passo 2
Qual método vou usar e por quê (apresentação das fórmulas essenciais):
- Vou usar a equação de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito em conduto cheio:
onde:
-
é a perda de carga por atrito (m); -
é o fator de atrito (adimensional); -
é o comprimento do tubo (m); -
é o diâmetro interno do tubo (m); -
é a velocidade média do fluido no tubo (m/s); -
é a aceleração da gravidade ( ). - A velocidade
relaciona-se com a vazão e a área por
- O fator de atrito
depende do número de Reynolds e da rugosidade relativa . O número de Reynolds é
- Para obter
vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa para cálculo manual/iterativo):
- Preciso de um valor de rugosidade absoluta
para polietileno. Tubos de polietileno (e PVC) são muito lisos; uma escolha comum e razoável para projeto é
Vou explicitar essa hipótese porque
depende dela; se tivesse outro valor de
o resultado mudaria um pouco.
Passo 3
Conversões e números iniciais:
- Converter a vazão para
:
- Já temos
, , , e .
Passo 4
Montar a equação que será resolvida (variável incógnita
):
- Substituindo
em Darcy–Weisbach obtemos uma equação em :
- Observe que
depende de via e . Não há fórmula fechada simples; usarei iterações numéricas com a fórmula de Swamee–Jain para .
Passo 5
Primeira iteração exploratória (ver como varia a perda com o diâmetro):
Vou testar alguns diâmetros para ver o comportamento e alcançar a solução por aproximação.
Vou testar alguns diâmetros para ver o comportamento e alcançar a solução por aproximação.
Teste 1:
- Velocidade:
- Número de Reynolds:
- Rugosidade relativa e Swamee–Jain:
- Perda de carga:
Comentário: com
a perda é muito pequena (apenas
), ou seja, cabe muito mais perda disponível; precisamos reduzir
para aumentar
.
Passo 6
Segunda iteração: testar diâmetro menor.
Teste 2:
- Velocidade:
- Reynolds:
- Swamee–Jain:
- Perda:
Comentário: com
a perda fica muito alta (
), acima dos
disponíveis. Então a solução está entre
e
.
Passo 7
Refinar entre 0{,}020 m e 0{,}050 m; testar
.
Teste 3:
- Velocidade:
- Reynolds:
- Swamee–Jain:
- Perda:
Comentário: com
a perda é muito próxima do disponível (
vs
). Já estamos bem próximos da solução.
Passo 8
Achar o valor de
com mais precisão por pequena interpolação/iteração:
- Para
obtive (ligeiramente maior que ). - Para
(teste rápido) calculei (ligeiramente menor que ). - Fazendo uma interpolação linear aproximada entre esses pontos, a solução fica muito perto de
- Refazendo cálculo com
e a fórmula de Swamee–Jain obtém-se praticamente igual a (diferença residual de ordem centésimos de metro, aceitável em projeto prático).
Passo 9
Interpretação prática e escolha comercial:
- O diâmetro interno calculado é
(aproximadamente ). - Em tubos comerciais de polietileno costuma-se escolher um diâmetro comercial padrão imediatamente superior para segurança e para facilitar conexão; o diâmetro comercial mais próximo é
(nominal 32 mm), cujo diâmetro interno real depende do fabricante e da classe de pressão, mas é compatível com a ordem de grandeza encontrada. - Observação pedagógica: se a rugosidade real do tubo for diferente da hipótese (
), ou se existirem muitas perdas localizadas (válvulas, conexões), o resultado muda: sempre bom verificar a rugosidade do fabricante e acrescentar coeficiente para perdas locais no projeto real.
Resposta
Sugestão prática: adotar tubo comercial