Dimensione uma tubulação de polietileno de 300 m de comprimento para operar um emissor na pressão de 5 m e vazão de 3 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~h}^{-1}, sabendo que a diferença de nível entre o reservatório e o emissor é de 21 m . Desconsidere as perdas de carga localizada e considere a viscosidade cinemática de 1,0 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} . \mathrm{s}^{-1}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que dá (dados que vou usar):
  • Pedem dimensionar a tubulação (ou seja, achar o diâmetro interno \,D\,) para transportar a vazão do emissor.
  • Comprimento da tubulação: \,L=300\\ \mathrm{m}.
  • Vazão do emissor: \,Q=3\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{h}^{-1}.
  • Pressão necessária no emissor (expressa em metros de coluna d’água): \,h_{\text{emissor}}=5\\ \mathrm{m}.
  • Diferença de nível entre reservatório e emissor: \,H=21\\ \mathrm{m}.
  • Viscosidade cinemática: \,\nu=1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1}.
  • Desconsiderar perdas localizadas.
  • O que eu vou calcular: o diâmetro interno \,D tal que a perda de carga por atrito ao longo de \,L consuma a cabeça disponível. Cabeça disponível para vencer perda de carga:
h_f = H - h_{\text{emissor}} = 21 - 5 = 16\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Qual método vou usar e por quê (apresentação das fórmulas essenciais):
  • Vou usar a equação de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito em conduto cheio:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • \,h_f é a perda de carga por atrito (m);
  • \,f é o fator de atrito (adimensional);
  • \,L é o comprimento do tubo (m);
  • \,D é o diâmetro interno do tubo (m);
  • \,V é a velocidade média do fluido no tubo (m/s);
  • \,g é a aceleração da gravidade ( \,g=9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2).
  • A velocidade \,V relaciona-se com a vazão \,Q e a área \,A por
V=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^2}.
  • O fator de atrito \,f depende do número de Reynolds \,Re e da rugosidade relativa \,\varepsilon/D. O número de Reynolds é
Re=\frac{V D}{\nu}.
  • Para obter \,f vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa para cálculo manual/iterativo):
f = \frac{0,25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D} + \dfrac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
  • Preciso de um valor de rugosidade absoluta \,\varepsilon para polietileno. Tubos de polietileno (e PVC) são muito lisos; uma escolha comum e razoável para projeto é
\varepsilon = 1{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Vou explicitar essa hipótese porque \,f depende dela; se tivesse outro valor de \varepsilon o resultado mudaria um pouco.

Passo 3

Conversões e números iniciais:
  • Converter a vazão para \mathrm{m}^3/\mathrm{s}:
Q=\frac{3}{3600}=0{,}000833333\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{s}^{-1}.
  • Já temos \,h_f=16\\ \mathrm{m}, \,L=300\\ \mathrm{m}, \,\nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1}, \,\varepsilon=1{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m} e \,g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

Passo 4

Montar a equação que será resolvida (variável incógnita \,D):
  • Substituindo \,V=\dfrac{4Q}{\pi D^2} em Darcy–Weisbach obtemos uma equação em \,D:
h_f = f(D)\,\frac{L}{D}\,\frac{1}{2g}\left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)^{\!2}.
  • Observe que \,f depende de \,D via \,Re e \,\varepsilon/D. Não há fórmula fechada simples; usarei iterações numéricas com a fórmula de Swamee–Jain para \,f.

Passo 5

Primeira iteração exploratória (ver como varia a perda com o diâmetro):
Vou testar alguns diâmetros para ver o comportamento e alcançar a solução por aproximação.
Teste 1: \,D=0{,}050\\ \mathrm{m}
  • Velocidade:
V=\frac{4Q}{\pi D^2}=\frac{4\cdot0{,}000833333}{\pi\cdot(0{,}050)^2}=0{,}4244\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de Reynolds:
Re=\frac{V D}{\nu}=\frac{0{,}4244\cdot0{,}050}{1{,}0\times10^{-6}}=2{,}12\times10^{4}.
  • Rugosidade relativa e Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{1{,}5\times10^{-6}}{3{,}7\cdot0{,}050}=8{,}11\times10^{-6}, \qquad \frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\approx7{,}29\times10^{-4},
f\approx\frac{0{,}25}{\big[\log_{10}(8{,}11\times10^{-6}+7{,}29\times10^{-4})\big]^2}\approx0{,}0255.
  • Perda de carga:
\frac{V^2}{2g}=\frac{(0{,}4244)^2}{2\cdot9{,}81}=0{,}00918\\ \mathrm{m}, \qquad \frac{L}{D}=\frac{300}{0{,}050}=6000,
h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}\approx0{,}0255\cdot6000\cdot0{,}00918\approx1{,}40\\ \mathrm{m}.
Comentário: com \,D=50\\ \mathrm{mm} a perda é muito pequena (apenas \,1{,}4\\ \mathrm{m}), ou seja, cabe muito mais perda disponível; precisamos reduzir \,D para aumentar \,h_f.

Passo 6

Segunda iteração: testar diâmetro menor.
Teste 2: \,D=0{,}020\\ \mathrm{m}
  • Velocidade:
V=\frac{4Q}{\pi D^2}=\frac{4\cdot0{,}000833333}{\pi\cdot(0{,}020)^2}=2{,}654\\ \mathrm{m/s}.
  • Reynolds:
Re=\frac{2{,}654\cdot0{,}020}{1{,}0\times10^{-6}}=5{,}31\times10^{4}.
  • Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}\approx2{,}03\times10^{-5}, \qquad \frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\approx3{,}20\times10^{-4},
f\approx0{,}0208.
  • Perda:
\frac{V^2}{2g}=\frac{(2{,}654)^2}{2\cdot9{,}81}=0{,}3594\\ \mathrm{m}, \qquad \frac{L}{D}=\frac{300}{0{,}020}=15000,
h_f\approx0{,}0208\cdot15000\cdot0{,}3594\approx111{,}8\\ \mathrm{m}.
Comentário: com \,D=20\\ \mathrm{mm} a perda fica muito alta ( \,111{,}8\\ \mathrm{m}), acima dos \,16\\ \mathrm{m} disponíveis. Então a solução está entre \,0{,}020\\ \mathrm{m} e \,0{,}050\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Refinar entre 0{,}020 m e 0{,}050 m; testar \,D=0{,}030\\ \mathrm{m}.
Teste 3: \,D=0{,}030\\ \mathrm{m}
  • Velocidade:
V=\frac{4Q}{\pi D^2}=\frac{4\cdot0{,}000833333}{\pi\cdot(0{,}030)^2}=1{,}1798\\ \mathrm{m/s}.
  • Reynolds:
Re=\frac{1{,}1798\cdot0{,}030}{1{,}0\times10^{-6}}=3{,}54\times10^{4}.
  • Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}\approx1{,}35\times10^{-5}, \qquad \frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\approx4{,}67\times10^{-4},
f\approx0{,}0227.
  • Perda:
\frac{V^2}{2g}=\frac{(1{,}1798)^2}{2\cdot9{,}81}=0{,}0710\\ \mathrm{m}, \qquad \frac{L}{D}=\frac{300}{0{,}030}=10000,
h_f\approx0{,}0227\cdot10000\cdot0{,}0710\approx16{,}11\\ \mathrm{m}.
Comentário: com \,D=30{,}0\\ \mathrm{mm} a perda é muito próxima do disponível ( \,16{,}11\\ \mathrm{m} vs \,16\\ \mathrm{m}). Já estamos bem próximos da solução.

Passo 8

Achar o valor de D com mais precisão por pequena interpolação/iteração:
  • Para \,D=0{,}030\\ \mathrm{m} obtive \,h_f\approx16{,}11\\ \mathrm{m} (ligeiramente maior que \,16\\ \mathrm{m}).
  • Para \,D=0{,}0302\\ \mathrm{m} (teste rápido) calculei \,h_f\approx15{,}57\\ \mathrm{m} (ligeiramente menor que \,16\\ \mathrm{m}).
  • Fazendo uma interpolação linear aproximada entre esses pontos, a solução fica muito perto de
D\approx0{,}03003\\ \mathrm{m}\approx30{,}03\\ \mathrm{mm}.
  • Refazendo cálculo com D\approx0{,}03003\\ \mathrm{m} e a fórmula de Swamee–Jain obtém-se \,h_f praticamente igual a \,16{,}0\\ \mathrm{m} (diferença residual de ordem centésimos de metro, aceitável em projeto prático).

Passo 9

Interpretação prática e escolha comercial:
  • O diâmetro interno calculado é \,D\approx0{,}0300\\ \mathrm{m} (aproximadamente 30{,}0\\ \mathrm{mm}).
  • Em tubos comerciais de polietileno costuma-se escolher um diâmetro comercial padrão imediatamente superior para segurança e para facilitar conexão; o diâmetro comercial mais próximo é \,DN32 (nominal 32 mm), cujo diâmetro interno real depende do fabricante e da classe de pressão, mas é compatível com a ordem de grandeza encontrada.
  • Observação pedagógica: se a rugosidade real do tubo for diferente da hipótese ( \,\varepsilon), ou se existirem muitas perdas localizadas (válvulas, conexões), o resultado muda: sempre bom verificar a rugosidade do fabricante e acrescentar coeficiente para perdas locais no projeto real.

Resposta

D \approx 0{,}0300\\ \mathrm{m} \;=\; 30{,}0\\ \mathrm{mm}.
Sugestão prática: adotar tubo comercial DN32.

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