Dois resistores devem produzir a mesma corrente total de circuito (500mA) estejam eles em série ou estejam em paralelo. Para tanto a fonte do circuito em série é de 30 V e a condutância do circuito paralelo é 4/45 Siemens. Determine a tensão de alimentação do circuito paralelo e os valores exatos das resistências.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente tem dois resistores que, quando conectados em série ou em paralelo, precisam fazer com que a corrente total do circuito seja a mesma: 500 mA. No circuito em série, a fonte tem 30 V. Já no circuito paralelo, sabemos que a condutância é
Siemens. A gente vai precisar entender de leis de circuitos elétricos, como a Lei de Ohm e conceitos de resistores em série e paralelo, para descobrir qual é a tensão da fonte no circuito paralelo e os valores exatos das duas resistências.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa resistores em série e em paralelo.
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Resistores em Série: Quando resistores estão em série, a resistência total
é a soma das resistências individuais. A corrente que passa por cada resistor é a mesma, e a tensão total é a soma das tensões em cada resistor. -
Resistores em Paralelo: Quando resistores estão em paralelo, a resistência total
pode ser calculada pela inversa da soma das inversas das resistências individuais. A tensão em cada resistor é a mesma, e a corrente total é a soma das correntes em cada resistor.
Passo 3
Vamos começar pelo circuito em série. Sabemos que a fonte tem 30 V e que a corrente total é 500 mA (
A). Usando a Lei de Ohm (
), podemos encontrar a resistência total no circuito em série.
Então, a soma das duas resistências é 60 Ω:
Passo 4
Agora, vamos para o circuito em paralelo. A condutância
é o inverso da resistência, ou seja,
.
Nosso circuito paralelo tem uma condutância total de
Siemens. Vamos usar a fórmula da resistência total em paralelo:
Então,
Sabemos que no circuito paralelo a corrente total também é 500 mA, e a tensão
é a mesma nos dois resistores. Aplicando a Lei de Ohm para o circuito paralelo:
Então, a tensão da fonte no circuito paralelo é 5,625 V.
Passo 5
Vamos agora relacionar as resistências nos dois circuitos. No circuito paralelo, a resistência total
também pode ser expressa em termos de
e
:
Sabemos que
, então:
Temos duas equações agora:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Passo 6
Primeiro, vamos manipular a equação (2) para facilitar a solução. Vamos encontrar uma expressão comum:
Sabemos da equação (1) que
, então substituímos:
Agora, vamos resolver para
:
Agora, temos:
Esse é um sistema conhecido, onde as soluções para
e
são as raízes da equação quadrática:
Substituindo:
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Portanto, as resistências são
e
.
Resposta
A tensão de alimentação do circuito paralelo é de 5,625 V, e os valores exatos das resistências são 45 Ω e 15 Ω.