Dois resistores devem produzir a mesma corrente total de circuito (500mA) estejam eles em série ou estejam em paralelo. Para tanto a fonte do circuito em série é de 30 V e a condutância do circuito paralelo é 4/45 Siemens. Determine a tensão de alimentação do circuito paralelo e os valores exatos das resistências.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente tem dois resistores que, quando conectados em série ou em paralelo, precisam fazer com que a corrente total do circuito seja a mesma: 500 mA. No circuito em série, a fonte tem 30 V. Já no circuito paralelo, sabemos que a condutância é Siemens. A gente vai precisar entender de leis de circuitos elétricos, como a Lei de Ohm e conceitos de resistores em série e paralelo, para descobrir qual é a tensão da fonte no circuito paralelo e os valores exatos das duas resistências.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa resistores em série e em paralelo.
  • Resistores em Série: Quando resistores estão em série, a resistência total Rs = R1 + R2 é a soma das resistências individuais.
    1Rp = 1R1 + 1R2
    A corrente que passa por cada resistor é a mesma, e a tensão total é a soma das tensões em cada resistor.
  • Resistores em Paralelo: Quando resistores estão em paralelo, a resistência total pode ser calculada pela inversa da soma das inversas das resistências individuais.
    A tensão em cada resistor é a mesma, e a corrente total é a soma das correntes em cada resistor.

Passo 3

Vamos começar pelo circuito em série. Sabemos que a fonte tem 30 V e que a corrente total é 500 mA ( Rs = VI = 30,V0,5,A = 60,Omega A). Usando a Lei de Ohm ( R1 + R2 = 60,Omega (1) ), podemos encontrar a resistência total no circuito em série.
Então, a soma das duas resistências é 60 Ω:

Passo 4

Agora, vamos para o circuito em paralelo. A condutância 1Rp = Gp = 445,S é o inverso da resistência, ou seja, Rp = 454,Omega = 11,25,Omega .
Nosso circuito paralelo tem uma condutância total de Vp = Ip cdot Rp = 0,5,A cdot 11,25,Omega = 5,625,V Siemens. Vamos usar a fórmula da resistência total em paralelo:
Então,
Sabemos que no circuito paralelo a corrente total também é 500 mA, e a tensão é a mesma nos dois resistores. Aplicando a Lei de Ohm para o circuito paralelo:
Então, a tensão da fonte no circuito paralelo é 5,625 V.

Passo 5

Vamos agora relacionar as resistências nos dois circuitos. No circuito paralelo, a resistência total 1Rp = 1R1 + 1R2 também pode ser expressa em termos de 111,25 = 1R1 + 1R2 e 445 = 1R1 + 1R2 (2) :
(1) R1 + R2 = 60
Sabemos que (2) 1R1 + 1R2 = 445 , então:
Temos duas equações agora:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .

Passo 6

Primeiro, vamos manipular a equação (2) para facilitar a solução. Vamos encontrar uma expressão comum:
R1 + R2R1 R2 = 445
Sabemos da equação (1) que 60R1 R2 = 445 , então substituímos:
R1 R2 = 60 cdot 454 = 27004 = 675,Omega^2
Agora, vamos resolver para R1 + R2 = 60 :
R1 cdot R2 = 675
Agora, temos:
x^2 - (R1 + R2)x + R1 R2 = 0
x^2 - 60x + 675 = 0
Esse é um sistema conhecido, onde as soluções para e são as raízes da equação quadrática:
Substituindo:

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática:
x^2 - 60x + 675 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 60 pm raiz60^2 - 4 cdot 1 cdot 6752 cdot 1
x = 60 pm raiz3600 - 27002
x = 60 pm raiz9002
x = 60 pm 302
Então, temos duas soluções:
x1 = 60 + 302 = 902 = 45,Omega
x2 = 60 - 302 = 302 = 15,Omega
Portanto, as resistências são e .

Resposta

A tensão de alimentação do circuito paralelo é de 5,625 V, e os valores exatos das resistências são 45 Ω e 15 Ω.

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