Dois tubos de órgāo A e B têm o mesmo comprimento L. O tubo A é fechado, e B é aberto. Sejam \mathrm{f}_{\mathrm{A}} \mathrm{e} \mathrm{f}_{\mathrm{B}} as frequências fundam entais emitidas, respectivamente, por A e B, e designando por V a velocidade do som no ar, determine a razão entre as frequências \mathrm{f}_{\mathrm{A}} e \mathrm{f}_{\mathrm{B}}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Dois tubos com o mesmo comprimento L.
  • Tubo A é fechado em uma extremidade (tubo fechado) e tubo B é aberto nas duas extremidades (tubo aberto).
  • As frequências fundamentais são \mathrm{f}_A e \mathrm{f}_B, respectivamente.
  • A velocidade do som no ar é V.
O que se pede: determinar a razão entre as frequências fundamentais, isto é \dfrac{\mathrm{f}_A}{\mathrm{f}_B}.

Passo 2

Conceito importante (passo-a-passo didático): ondas estacionárias em tubos de órgão.
  • Uma onda sonora no interior do tubo tem padrão de deslocamento do ar que forma nós (pontos onde o deslocamento é zero) e antinós (pontos de máximo deslocamento).
  • Condições nas extremidades para o deslocamento:
    • Extremidade fechada: deslocamento do ar é zero → nó de deslocamento.
    • Extremidade aberta: deslocamento do ar é máximo → antinó de deslocamento.
Para a fundamental (modo mais simples) devemos encaixar a menor configuração de nós/antinós que satisfaça as condições das extremidades.

Passo 3

Determinar a relação entre comprimento L e a comprimento de onda \lambda no modo fundamental para cada tubo.
  • Tubo aberto nas duas extremidades (tubo B):
    • Ambas as extremidades são antinós de deslocamento.
    • No modo fundamental cabe meio comprimento de onda dentro do tubo: L=\dfrac{\lambda_B}{2}.
    • Portanto, \lambda_B = 2L.
  • Tubo fechado em uma extremidade e aberto na outra (tubo A):
    • Uma extremidade é nó (fechada) e a outra é antinó (aberta).
    • No modo fundamental cabe um quarto de comprimento de onda: L=\dfrac{\lambda_A}{4}.
    • Portanto, \lambda_A = 4L.

Passo 4

Fórmula da relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
\mathrm{f}=\frac{V}{\lambda},
onde \mathrm{f} é a frequência, V é a velocidade do som e \lambda é o comprimento de onda.
Aplicando a cada tubo:
  • Para A:
    \mathrm{f}_A=\frac{V}{\lambda_A}=\frac{V}{4L}.
  • Para B:
    \mathrm{f}_B=\frac{V}{\lambda_B}=\frac{V}{2L}.
Agora a razão:
\frac{\mathrm{f}_A}{\mathrm{f}_B}=\frac{\dfrac{V}{4L}}{\dfrac{V}{2L}}=\frac{V}{4L}\cdot\frac{2L}{V}=\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{\mathrm{f}_A}{\mathrm{f}_B}=\dfrac{1}{2}

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