Faça a conversão das direções [110] e [001] ao esquema de quatro índices de Miller-Bravais para células unitárias hexagonais.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Converter a direção [110] para o esquema de quatro índices de Miller–Bravais (direções no sistema hexagonal).
  • Converter a direção [001] para o mesmo esquema.
Informações dadas:
  • As direções iniciais estão escritas no formato de três índices [u v w] (do enunciado: [110] e [001]).
  • Quer-se o formato de quatro índices [u\\ v\\ t\\ w] usado para cristais hexagonais (Miller–Bravais), no qual sempre vale a relação entre os três índices do plano basal: u+v+t=0.
  • Não há outras informações numéricas além das direções fornecidas.

Passo 2

Entender o sistema de índices (explicação conceitual e notação).
  • No sistema hexagonal usamos três vetores no plano basal separados por 120^\circ: \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3, mais o eixo \mathbf{c} perpendicular ao plano basal.
  • Há dependência linear entre os vetores do plano basal: \mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3=\mathbf{0}.
  • Por isso na notação de quatro índices para direções escrevemos [u\\ v\\ t\\ w] com a restrição u+v+t=0,que remove a redundância entre os três índices do plano basal.
  • Uma direção no cristal pode ser escrita como combinação linear (proporcional) dos vetores de rede: \mathbf{r} = u\,\mathbf{a}_1 + v\,\mathbf{a}_2 + t\,\mathbf{a}_3 + w\,\mathbf{c}.

Passo 3

Como converter de três índices [u\\ v\\ w] (usando \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{c} como base) para quatro índices [u\\ v\\ t\\ w].
  • Se o enunciado dá uma direção em três índices no hexagonal, usualmente esse [u\\ v\\ w] significa componentes ao longo de \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{c}: \mathbf{r} = u\,\mathbf{a}_1 + v\,\mathbf{a}_2 + w\,\mathbf{c}.
  • Para passar a quatro índices, escrevemos a mesma \mathbf{r} incluindo \mathbf{a}_3: \mathbf{r} = u\,\mathbf{a}_1 + v\,\mathbf{a}_2 + t\,\mathbf{a}_3 + w\,\mathbf{c}.
  • Usando \mathbf{a}_3 = -(\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2) e identificando os coeficientes, a igualdade das duas representações exige t = -(u+v).
  • Portanto a regra prática de conversão é simples e direta: [u\\ v\\ w] \longrightarrow [\,u\\ v\\\ -(u+v)\\ w\,].
  • Observação importante: depois de aplicar a regra, pode-se (se necessário) dividir todos os índices pelo maior divisor comum para reduzir aos menores inteiros relativos mantendo a direção.

Passo 4

Aplicando a regra à direção [110] (passo a passo numérico).
  • Identifico os componentes na notação de três índices: u=1, v=1, w=0.
  • Calculo t=-(u+v)=-(1+1)= -2.
  • Assim a versão em quatro índices é [1\\\ 1\\\ -2\\\ 0].
  • Verificação rápida: soma dos três índices do plano basal 1+1+(-2)=0, conforme exigido.

Passo 5

Aplicando a regra à direção [001] (passo a passo numérico).
  • Identifico os componentes na notação de três índices: u=0, v=0, w=1.
  • Calculo t=-(u+v)=-(0+0)=0.
  • Assim a versão em quatro índices é [0\\\ 0\\\ 0\\\ 1].
  • Verificação rápida: soma dos três índices do plano basal 0+0+0=0, conforme exigido. Essa direção é simplesmente o eixo \mathbf{c}.

Resposta

[110] \rightarrow [1\\\ 1\\\ -2\\\ 0]
[001] \rightarrow [0\\\ 0\\\ 0\\\ 1]

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