Dois vetores são dados por
\begin{aligned} \vec{A} & =1 m \hat{\imath}-2 m \hat{\jmath}+4 m \hat{k} \\\ \vec{B} & =-1 m \hat{\imath}+2 m \hat{\jmath}-2 m \hat{k} \end{aligned}
Determine, na notação dos vetores unitários,
(d) \vec{A} x \vec{B}

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{A} = 1\,\hat{\imath} - 2\,\hat{\jmath} + 4\,\hat{k}, \quad \vec{B} = -1\,\hat{\imath} + 2\,\hat{\jmath} - 2\,\hat{k},
e pede o produto vetorial \vec{A}\times\vec{B}. O conteúdo é o cálculo de produto vetorial em \mathbb{R}^3 usando o determinante de matriz 3\times 3 com vetores unitários.

Passo 2

Recordamos a fórmula do produto vetorial por determinante:
\vec{A}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\[6pt] A_x & A_y & A_z \\[3pt] B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}
onde A_x=1, A_y=-2, A_z=4, B_x=-1, B_y=2, B_z=-2.]

Passo 3

Cálculo do componente em \hat{\imath}:
(\vec{A}\times\vec{B})_x = \begin{vmatrix} A_y & A_z \\[3pt] B_y & B_z \end{vmatrix} = (-2)(-2) - (4)(2) = 4 - 8 = -4.]

Passo 4

Cálculo do componente em \hat{\jmath}:
(\vec{A}\times\vec{B})_y = - \begin{vmatrix} A_x & A_z \\[3pt] B_x & B_z \end{vmatrix} = -\bigl(1\cdot(-2) - 4\cdot(-1)\bigr) = -\bigl(-2 +4\bigr) = -2.]

Passo 5

Cálculo do componente em \hat{k}:
(\vec{A}\times\vec{B})_z = \begin{vmatrix} A_x & A_y \\[3pt] B_x & B_y \end{vmatrix} = 1\cdot2 - (-2)\cdot(-1) = 2 - 2 = 0.
Portanto, juntando os três componentes,
\vec{A}\times\vec{B} = -4\,\hat{\imath} \;-\; 2\,\hat{\jmath} \;+\; 0\,\hat{k}.]

Resposta

\displaystyle \vec{A}\times\vec{B} = -4\,\hat{\imath} - 2\,\hat{\jmath}.

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