Dois vetores são dados por
\begin{aligned} \vec{A} & =1 m \hat{\imath}-2 m \hat{\jmath}+4 m \hat{k} \\\ \vec{B} & =-1 m \hat{\imath}+2 m \hat{\jmath}-2 m \hat{k} \end{aligned}
Determine, na notação dos vetores unitários,
(c) \vec{A} \cdot \vec{B}

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em notação de vetores unitários e pede o produto escalar \vec{A}\cdot\vec{B}. O conteúdo aqui é o produto escalar em \mathbb{R}^3, que usamos para obter um escalar a partir das componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, identificamos as componentes de cada vetor. \vec{A} = 1\,\hat\imath + (-2)\,\hat\jmath + 4\,\hat k \vec{B} = (-1)\,\hat\imath + 2\,\hat\jmath + (-2)\,\hat k

Passo 3

A definição do produto escalar em \mathbb{R}^3 é
\vec{A}\cdot\vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z,
onde (A_x,A_y,A_z) e (B_x,B_y,B_z) são as componentes de \vec{A} e \vec{B}.

Passo 4

Aplicando a fórmula, temos
\vec{A}\cdot\vec{B} = (1)\cdot(-1) + (-2)\cdot(2) + (4)\cdot(-2).
Calculando cada termo:
1\cdot(-1) = -1,\quad (-2)\cdot2 = -4,\quad 4\cdot(-2) = -8.
Somando-os:
\vec{A}\cdot\vec{B} = -1 + (-4) + (-8) = -13.

Resposta

\vec{A}\cdot\vec{B} = -13\\ \mathrm{m^2}

Exercícios relacionados