(Dolce/Pompeo) Dado o raio R de uma circunferência, determine o lado e o apótema do octógono regular inscrito.

Passo 1

O enunciado fornece o raio R de uma circunferência e pede o lado e o apótema de um octógono regular inscrito. O conteúdo é geometria de polígonos regulares inscritos: em um polígono regular de n lados, o ângulo central vale \tfrac{2\pi}{n}, o lado relaciona-se com o seno do meio desse ângulo, e o apótema é o cateto adjacente nesse mesmo triângulo retângulo formado pelo raio.

Passo 2

Cada vértice do octógono está sobre a circunferência, então o ângulo central é
\frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}.
Se dividirmos o triângulo isósceles de vértices centro–vértice–vértice em dois triângulos retângulos, o ângulo no centro passa a ser \tfrac{\pi}{8}. Nesse triângulo, o cateto oposto mede metade do lado do octógono e o hipotenusa é R. Assim, se l é o lado, temos
\frac{l}{2} = R \,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad l = 2R\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr).

Passo 3

Para obter forma radical, usamos
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\tfrac{\pi}{4})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \tfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}.
Logo
l = 2R \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = R\,\sqrt{2 - \sqrt{2}}.

Passo 4

No mesmo triângulo retângulo, o apótema a é o cateto adjacente ao ângulo \tfrac{\pi}{8}, ou seja
a = R\,\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr).
E
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\tfrac{\pi}{4})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \tfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}.
Portanto
a = R \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}.

Resposta

Lado: R\,\sqrt{2 - \sqrt{2}}
Apótema: \displaystyle \frac{R\,\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}

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