(Dolce/Pompeo) Determine as medidas das diagonais de um octógono regular de lado \ell.

Passo 1

O enunciado pede as medidas das diagonais de um octógono regular de lado \ell. O conteúdo envolve polígonos regulares, circunferência circunscrita e cordas de ângulos centrais. Vamos inscrever o octógono numa circunferência de raio R e usar que cada diagonal é corda dessa circunferência.

Passo 2

A relação entre o lado \ell e o raio R é
\ell = 2R \,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr),
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R = \frac{\ell}{2\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)},
sabendo que
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.

Passo 3

A diagonal que liga vértices separados por k arestas corresponde a uma corda com ângulo central k\pi/8, portanto
d_k = 2R \,\sin\!\bigl(\tfrac{k\pi}{8}\bigr).
Vamos calcular para k=2, 3 e 4.

Passo 4

Para k=2, \sin(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt2}{2}. Então
d_2 = 2R \,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = 2R\frac{\sqrt2}{2} = R\sqrt2.
Substituindo
\displaystyle R=\frac{\ell}{2\sin(\frac{\pi}{8})}
e
\displaystyle \sin\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2},
chegamos a
d_2 = \ell\sqrt{2+\sqrt{2}}.

Passo 5

Para k=3, \sin(\tfrac{3\pi}{8})=\cos(\tfrac{\pi}{8})=\tfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}. Logo
d_3 = 2R \,\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{8}\bigr) = 2R\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} = R\sqrt{2+\sqrt{2}}.
Substituindo R e simplificando, obtemos
d_3 = \ell\,(1+\sqrt{2}).

Passo 6

Para k=4, \sin(\tfrac{\pi}{2})=1. Então
d_4 = 2R = \frac{\ell}{\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)} = \ell\sqrt{4+2\sqrt{2}}.

Resposta

As diagonais do octógono regular de lado \ell têm comprimentos
d_2 = \ell\sqrt{2+\sqrt{2}},\qquad d_3 = \ell\bigl(1+\sqrt{2}\bigr),\qquad d_4 = \ell\sqrt{4+2\sqrt{2}}.

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