(Dolce/Pompeo) Determine as medidas das diagonais de um octógono regular de lado
.
Passo 1
O enunciado pede as medidas das diagonais de um octógono regular de lado
. O conteúdo envolve polígonos regulares, circunferência circunscrita e cordas de ângulos centrais. Vamos inscrever o octógono numa circunferência de raio
e usar que cada diagonal é corda dessa circunferência.
Passo 2
A relação entre o lado
e o raio
é
logo
sabendo que
Passo 3
A diagonal que liga vértices separados por
arestas corresponde a uma corda com ângulo central
, portanto
Vamos calcular para
,
e
.
Passo 4
Para
,
. Então
Substituindo
e
,
chegamos a
e
chegamos a
Passo 5
Para
,
. Logo
Substituindo
e simplificando, obtemos
Passo 6
Para
,
. Então
Resposta
As diagonais do octógono regular de lado
têm comprimentos