Dê o domínio de f(x)=\sqrt{5-|x-3|}.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função f(x)=\sqrt{5-|x-3|}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é f(x)=\sqrt{5-|x-3|}.
  • Precisa-se determinar todos os valores de x para os quais f(x) está definida (ou seja, o domínio).
  • Observação importante (dados do enunciado): a expressão dentro da raiz quadrada é 5-|x-3|.

Passo 2

Condição de existência da raiz quadrada: para que a raiz quadrada esteja definida no conjunto dos números reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Portanto devemos exigir
5-|x-3| \ge 0.
Isto determina quais x são permitidos.

Passo 3

Isolar o valor absoluto: a desigualdade acima pode ser reescrita como
|x-3| \le 5.
Expliquei: passei |x-3| para o outro lado do sinal e deixei 5 do lado direito.

Passo 4

Como resolver |u|\le a: lembre que, para qualquer expressão u e número a\ge 0, a desigualdade
|u|\le a
é equivalente à desigualdade composta
-a \le u \le a.
Intuição rápida: |u| mede a distância de u até 0; pedir |u|\le a significa que a distância de u até 0 não passa de a, ou seja, u está entre -a e a.

Passo 5

Aplicando essa propriedade com u=x-3 e a=5, obtemos
-5 \le x-3 \le 5.
Agora somamos 3 em todas as partes da desigualdade para isolar x:
-5+3 \le x \le 5+3,
ou seja
-2 \le x \le 8.

Passo 6

Verificação rápida nos extremos: para x=-2 temos 5-|{-2}-3|=5-|{-5}|=5-5=0, raiz bem definida; para x=8 temos 5-|8-3|=5-5=0, também ok. Para valores entre -2 e 8 o radicando é positivo. Logo o conjunto de x válidos é o intervalo fechado de -2 até 8.

Resposta

[-2,8]

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