Exercício 0.2 (Inequações). Resolva, em \mathbb{R}, os sistemas de inequações:
-6 \leq x^{2}-x-6<0

Passo 1

O enunciado pede: resolver em \mathbb{R} o sistema de inequações
-6 \leq x^{2}-x-6 < 0.
Informações que temos e o que é pedido:
  • Dá-se uma desigualdade dupla envolvendo a expressão x^{2}-x-6.
  • Quer-se encontrar todos os números reais x que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades da cadeia.
  • Vou transformar a desigualdade dupla em formas mais simples e resolver cada parte, depois fazer a interseção das soluções.

Passo 2

Primeiro passo prático: somar 6 a todas as parcelas da desigualdade para simplificar a expressão. Somar o mesmo número em todas as partes de uma desigualdade dupla preserva a ordem; portanto:
-6 \leq x^{2}-x-6 < 0
adicionando 6 obtemos
0 \leq x^{2}-x < 6.
Assim a condição equivalente é: encontrar x tais que x^{2}-x esteja no intervalo [0,6).

Passo 3

Resolver a primeira desigualdade da cadeia: \,x^{2}-x \ge 0.
Escrevendo em forma fatorada:
x^{2}-x = x(x-1).
Queremos x(x-1)\ge 0. Para um produto ser não negativo, os dois fatores devem ter sinais iguais (ambos \ge 0 ou ambos \le 0). As raízes são x=0 e x=1. Fazendo a análise de sinais por intervalos:
  • Para x<0: x<0 e x-1<0 ⇒ produto >0.
  • Para 0<x<1: x>0 e x-1<0 ⇒ produto <0.
  • Para x>1: x>0 e x-1>0 ⇒ produto >0.
    Incluindo os zeros onde o produto é zero, a solução é
x\in (-\infty,0]\cup[1,\infty).

Passo 4

Agora a segunda desigualdade da cadeia: \,x^{2}-x < 6.
Subtrai-se 6 dos dois lados para levar tudo a uma expressão polinomial:
x^{2}-x-6 < 0.
Fatorando o quadrático:
x^{2}-x-6 = (x-3)(x+2).
Um produto de duas expressões é negativo quando os fatores têm sinais opostos; as raízes são x=-2 e x=3. Como o coeficiente do termo x^{2} é positivo, a parábola está para cima e é negativa entre as raízes. Então
x\in (-2,3).

Passo 5

Agora intersectamos as duas soluções (pois ambas as condições devem valer ao mesmo tempo):
  • Solução de \,x^{2}-x \ge 0 é (-\infty,0]\cup[1,\infty).
  • Solução de \,x^{2}-x < 6 é (-2,3).
Interseção por partes:
  • (-\infty,0]\cap(-2,3) = (-2,0].
  • [1,\infty)\cap(-2,3) = [1,3).
Portanto a solução conjunta é
(-2,0]\cup[1,3).

Passo 6

Checagem rápida dos extremos para garantir inclusão/exclusão corretas:
  • x=-2: aqui x^{2}-x = 6, que não satisfaz <6, logo x=-2 é excluído (intervalo aberto em -2).
  • x=0: aqui x^{2}-x=0, satisfaz 0\le 0<6, logo x=0 incluído.
  • x=1: aqui x^{2}-x=0, incluído.
  • x=3: aqui x^{2}-x=6, não satisfaz <6, logo x=3 excluído.
Tudo bate com a solução encontrada.

Resposta

(-2,0]\cup[1,3)

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