Exercício 0.2 (Inequações). Resolva, em
, os sistemas de inequações:
Passo 1
O enunciado pede: resolver em
o sistema de inequações
Informações que temos e o que é pedido:
- Dá-se uma desigualdade dupla envolvendo a expressão
. - Quer-se encontrar todos os números reais
que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades da cadeia. - Vou transformar a desigualdade dupla em formas mais simples e resolver cada parte, depois fazer a interseção das soluções.
Passo 2
Primeiro passo prático: somar
a todas as parcelas da desigualdade para simplificar a expressão. Somar o mesmo número em todas as partes de uma desigualdade dupla preserva a ordem; portanto:
adicionando
obtemos
Assim a condição equivalente é: encontrar
tais que
esteja no intervalo
.
Passo 3
Resolver a primeira desigualdade da cadeia:
.
Escrevendo em forma fatorada:
Escrevendo em forma fatorada:
Queremos
. Para um produto ser não negativo, os dois fatores devem ter sinais iguais (ambos
ou ambos
). As raízes são
e
. Fazendo a análise de sinais por intervalos:
- Para
: e ⇒ produto . - Para
: e ⇒ produto . - Para
: e ⇒ produto .
Incluindo os zeros onde o produto é zero, a solução é
Passo 4
Agora a segunda desigualdade da cadeia:
.
Subtrai-se dos dois lados para levar tudo a uma expressão polinomial:
Subtrai-se
Fatorando o quadrático:
Um produto de duas expressões é negativo quando os fatores têm sinais opostos; as raízes são
e
. Como o coeficiente do termo
é positivo, a parábola está para cima e é negativa entre as raízes. Então
Passo 5
Agora intersectamos as duas soluções (pois ambas as condições devem valer ao mesmo tempo):
- Solução de
é . - Solução de
é .
Interseção por partes:
-
. -
.
Portanto a solução conjunta é
Passo 6
Checagem rápida dos extremos para garantir inclusão/exclusão corretas:
-
: aqui , que não satisfaz , logo é excluído (intervalo aberto em ). -
: aqui , satisfaz , logo incluído. -
: aqui , incluído. -
: aqui , não satisfaz , logo excluído.
Tudo bate com a solução encontrada.