Dê o domínio, a imagem e faça um esboço dos gráficos das seguintes funções
f(x)=5 x-1.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f(x)=5x-1:
  • descobrir o domínio de f;
  • descobrir a imagem (conjunto de valores possíveis de f);
  • fazer um esboço do gráfico de f.
Informações dadas:
  • a própria definição da função: f(x)=5x-1. Não há restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

O que é domínio e como achar aqui.
  • Definição curta e prática: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida).
  • A função f(x)=5x-1 é uma função polinomial (na verdade, linear). Expressões polinomiais estão definidas para todo número real, porque não envolvem divisão por zero, raiz de índice par de número negativo, logaritmo, etc.
  • Logo, o domínio é todo o conjunto dos números reais, que escrevemos \mathbb{R}.

Passo 3

O que é imagem (ou contradomínio efetivo) e como achar aqui.
  • Definição curta e prática: a imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) quando x varia no domínio.
  • Para mostrar que a imagem é \mathbb{R}, um jeito direto é: dado um valor qualquer y\in\mathbb{R}, provar que existe um x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y.
  • Começamos da equação 5x-1=y.
  • Isolando x obtemos x=\frac{y+1}{5}.
  • Para qualquer y real, \dfrac{y+1}{5} é um número real, portanto existe x real que produz esse y.
  • Conclusão: a imagem de f é todo o conjunto dos números reais, isto é, \mathbb{R}.

Passo 4

Interpretação geométrica: coeficiente angular (inclinação) e interceptos — coisas úteis para o esboço.
  • A função tem a forma afim f(x)=mx+b com m=5 e b=-1. Aqui m é o coeficiente angular (inclinação) e b é o intercepto em y.
  • O intercepto em y é o valor f(0). Calculando: f(0)=5\cdot 0-1=-1. Então a reta passa pelo ponto (0,-1).
  • O intercepto em x (onde a reta cruza o eixo x) obtém-se resolvendo 5x-1=0. Fazendo isso:
5x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{5}.
Portanto a reta cruza o eixo x em \left(\tfrac{1}{5},0\right).
  • A inclinação m=5 significa que, ao mover uma unidade para a direita (aumentar x em 1), o valor de f(x) aumenta em 5 (subida de 5 para cada corrida de 1). Um ponto útil adicional: para x=1 temos f(1)=5\cdot1-1=4, então (1,4) é outro ponto na reta. Para x=-1 temos f(-1)=5(-1)-1=-6, então (-1,-6) também.

Passo 5

Como esboçar a reta passo a passo (modo prático para fazer na prova) e um esboço simples aqui.
Procedimento prático para desenhar no papel:
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o ponto de intercepto em y: (0,-1).
  3. Marque o ponto de intercepto em x: \left(\tfrac{1}{5},0\right). Se a escala não permitir frações pequenas, use o ponto (1,4) que é mais fácil de localizar: (1,4) também está na reta.
  4. Trace a reta passando por dois desses pontos e ponha setas nas extremidades (reta infinita).
  5. Opcional: marque um terceiro ponto para conferir (por exemplo (-1,-6)).
Esboço aproximado (apenas indicativo — na prova desenhe com regras/escala):
y
|
| *
| *
| *
| *
| *
| *
|*_________________ x
(ponto em baixo é (0,-1), e ponto acima direita é (1,4))
Pontos mencionados (para referência): (0,-1), \left(\tfrac{1}{5},0\right), (1,4), (-1,-6).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \mathbb{R}

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