Dê o domínio, a imagem e faça um esboço dos gráficos das seguintes funções
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
:
- descobrir o domínio de
; - descobrir a imagem (conjunto de valores possíveis de
); - fazer um esboço do gráfico de
.
Informações dadas:
- a própria definição da função:
. Não há restrições adicionais no enunciado.
Passo 2
O que é domínio e como achar aqui.
- Definição curta e prática: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida). - A função
é uma função polinomial (na verdade, linear). Expressões polinomiais estão definidas para todo número real, porque não envolvem divisão por zero, raiz de índice par de número negativo, logaritmo, etc. - Logo, o domínio é todo o conjunto dos números reais, que escrevemos
.
Passo 3
O que é imagem (ou contradomínio efetivo) e como achar aqui.
- Definição curta e prática: a imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de
quando varia no domínio. - Para mostrar que a imagem é
, um jeito direto é: dado um valor qualquer , provar que existe um tal que . - Começamos da equação
- Isolando
obtemos - Para qualquer
real, é um número real, portanto existe real que produz esse . - Conclusão: a imagem de
é todo o conjunto dos números reais, isto é, .
Passo 4
Interpretação geométrica: coeficiente angular (inclinação) e interceptos — coisas úteis para o esboço.
- A função tem a forma afim
com e . Aqui é o coeficiente angular (inclinação) e é o intercepto em . - O intercepto em
é o valor . Calculando: Então a reta passa pelo ponto . - O intercepto em
(onde a reta cruza o eixo ) obtém-se resolvendo . Fazendo isso:
Portanto a reta cruza o eixo
em
.
- A inclinação
significa que, ao mover uma unidade para a direita (aumentar em ), o valor de aumenta em (subida de para cada corrida de ). Um ponto útil adicional: para temos , então é outro ponto na reta. Para temos , então também.
Passo 5
Como esboçar a reta passo a passo (modo prático para fazer na prova) e um esboço simples aqui.
Procedimento prático para desenhar no papel:
- Desenhe os eixos
e . - Marque o ponto de intercepto em
: . - Marque o ponto de intercepto em
: . Se a escala não permitir frações pequenas, use o ponto que é mais fácil de localizar: também está na reta. - Trace a reta passando por dois desses pontos e ponha setas nas extremidades (reta infinita).
- Opcional: marque um terceiro ponto para conferir (por exemplo
).
Esboço aproximado (apenas indicativo — na prova desenhe com regras/escala):
y
|
| *
| *
| *
| *
| *
| *
|*_________________ x
(ponto em baixo é , e ponto acima direita é
)
|
| *
| *
| *
| *
| *
| *
|*_________________ x
(ponto em baixo é
Pontos mencionados (para referência):
,
,
,
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: