Dê o domínio, a imagem e faça um esboço dos gráficos das seguintes funções
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede o domínio, a imagem (conjunto-valor) e um esboço do gráfico da função
. - A função fornecida é
. - Informação útil imediata: trata-se de um polinômio quadrático (grau 2), portanto o gráfico será uma parábola.
Passo 2
Domínio: raciocínio e conclusão.
- Polinômios estão definidos para todo número real, não têm divisão por zero nem raiz par de negativo na expressão da própria função.
- Logo o domínio é todo o conjunto dos números reais:
Passo 3
Encontrar as raízes (interseções com o eixo
) para localizar pontos importantes do gráfico.
- Resolver
. - Fatora-se o polinômio:
. - Portanto as raízes são
e . - Assim os pontos de interseção com o eixo
são e .
Passo 4
Calcular o vértice (ponto de mínimo ou máximo) — o centro da parábola.
- Para uma parábola
o eixo de simetria tem abscissa . - Aqui
e , logo
- A ordenada do vértice é
. Calcular:
- Portanto o vértice é o ponto
.
Passo 5
Forma canônica (completando o quadrado) — isso ajuda a entender mínimo e a imagem.
- Completar o quadrado em
:
- Nesta forma
para todo , então o menor valor possível de é , atingido quando , ou seja, em .
Passo 6
Determinar a imagem (intervalo de valores assumidos por
).
- Como a parábola tem
, abre para cima e o vértice é um mínimo global. - O menor valor de
é e não há teto superior (vai a ). - Logo a imagem (conjunto-valor) é
Passo 7
Monotonicidade e pontos adicionais para esboçar o gráfico.
- Derivada:
. Zera em . Para , (função decrescente); para , (função crescente). Isso confirma que é ponto de mínimo. - Pontos úteis para desenhar:
- Vértice:
. - Zeros:
e . - Interseção com o eixo
: , ponto . - Simetria: ponto
simétrico de em relação a . - Um ponto à esquerda para ver a subida:
, ponto .
- Vértice:
Passo 8
Como fazer o esboço passo a passo (dica prática para a prova).
- Desenhe eixos coordenados
e . - Marque o eixo de simetria vertical
(uma linha tracejada vertical opcional). - Marque o vértice
. - Marque os zeros
e . - Marque o ponto
-intercept e seu simétrico . - Una esses pontos com uma curva suave em forma de “U” que passe por
, desce até e sobe passando por e além. A parábola deve abrir para cima e ser simétrica em relação a .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço: parábola com vértice em , zeros em
e
, interseção com o eixo
em
; abre para cima e é simétrica em relação à reta
.
Imagem:
Esboço: parábola com vértice em