Dê o domínio, a imagem e faça um esboço dos gráficos das seguintes funções
g(x)=x^{2}-4 x+3.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede o domínio, a imagem (conjunto-valor) e um esboço do gráfico da função g.
  • A função fornecida é g(x)=x^{2}-4x+3.
  • Informação útil imediata: trata-se de um polinômio quadrático (grau 2), portanto o gráfico será uma parábola.

Passo 2

Domínio: raciocínio e conclusão.
  • Polinômios estão definidos para todo número real, não têm divisão por zero nem raiz par de negativo na expressão da própria função.
  • Logo o domínio é todo o conjunto dos números reais:
\text{Domínio}=\mathbb{R}.í

Passo 3

Encontrar as raízes (interseções com o eixo x) para localizar pontos importantes do gráfico.
  • Resolver x^{2}-4x+3=0.
  • Fatora-se o polinômio: x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
  • Portanto as raízes são (x-1)=0\Rightarrow x=1 e (x-3)=0\Rightarrow x=3.
  • Assim os pontos de interseção com o eixo x são (1,0) e (3,0).

Passo 4

Calcular o vértice (ponto de mínimo ou máximo) — o centro da parábola.
  • Para uma parábola ax^{2}+bx+c o eixo de simetria tem abscissa x_v=-\dfrac{b}{2a}.
  • Aqui a=1 e b=-4, logo
x_v=-\dfrac{-4}{2\cdot 1}=\dfrac{4}{2}=2.
  • A ordenada do vértice é g(x_v)=g(2). Calcular:
g(2)=2^{2}-4\cdot 2+3=4-8+3=-1.
  • Portanto o vértice é o ponto (2,-1).

Passo 5

Forma canônica (completando o quadrado) — isso ajuda a entender mínimo e a imagem.
  • Completar o quadrado em g(x)=x^{2}-4x+3:
x^{2}-4x+3=(x^{2}-4x+4)-1=(x-2)^{2}-1.
  • Nesta forma (x-2)^{2}\ge 0 para todo x, então o menor valor possível de g(x) é -1, atingido quando (x-2)^{2}=0, ou seja, em x=2.

Passo 6

Determinar a imagem (intervalo de valores assumidos por g).
  • Como a parábola tem a=1>0, abre para cima e o vértice é um mínimo global.
  • O menor valor de g é -1 e não há teto superior (vai a +\infty).
  • Logo a imagem (conjunto-valor) é
\text{Imagem}=[-1,\infty).

Passo 7

Monotonicidade e pontos adicionais para esboçar o gráfico.
  • Derivada: g'(x)=2x-4. Zera em x=2. Para x<2, g'(x)<0 (função decrescente); para x>2, g'(x)>0 (função crescente). Isso confirma que x=2 é ponto de mínimo.
  • Pontos úteis para desenhar:
    • Vértice: (2,-1).
    • Zeros: (1,0) e (3,0).
    • Interseção com o eixo y: g(0)=3, ponto (0,3).
    • Simetria: ponto (4,3) simétrico de (0,3) em relação a x=2.
    • Um ponto à esquerda para ver a subida: g(-1)=(-1)^{2}-4(-1)+3=1+4+3=8, ponto (-1,8).

Passo 8

Como fazer o esboço passo a passo (dica prática para a prova).
  • Desenhe eixos coordenados x e y.
  • Marque o eixo de simetria vertical x=2 (uma linha tracejada vertical opcional).
  • Marque o vértice (2,-1).
  • Marque os zeros (1,0) e (3,0).
  • Marque o ponto y-intercept (0,3) e seu simétrico (4,3).
  • Una esses pontos com uma curva suave em forma de “U” que passe por (1,0), desce até (2,-1) e sobe passando por (3,0) e além. A parábola deve abrir para cima e ser simétrica em relação a x=2.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [-1,\infty)
Esboço: parábola com vértice em (2,-1), zeros em (1,0) e (3,0), interseção com o eixo y em (0,3); abre para cima e é simétrica em relação à reta x=2.

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