Dê o domínio, a imagem e faça um esboço dos gráficos das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
: o domínio, a imagem (conjunto de valores possíveis de
) e um esboço do gráfico. A função dada é
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A expressão usa valores absolutos
e . - Não há restrição explícita sobre
no enunciado (como divisão por zero ou radicais com índice par), portanto o domínio provavelmente será todo o conjunto dos números reais, mas isso vamos confirmar e justificar nos próximos passos. - Pontos onde as expressões internas dos valores absolutos mudam de sinal são
(pois ) e (pois ). Esses pontos quebram a reta real em três intervalos naturais para analisar: , e .
Passo 2
Rápida aula sobre valor absoluto (para usar passo a passo): o valor absoluto de um número real
Isto significa que, para cada expressão dentro de um módulo, devemos checar o sinal dessa expressão e reescrever
e
) e tratamos cada intervalo separadamente.]
Passo 3
Determinar o domínio: valores de
onde a expressão
está definida. Cada módulo
e
está definido para todo
. Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais. Em notação:
Passo 4
Analisar a função em cada intervalo determinado por
e
.
Intervalo 1:
.
- Aqui
e . Então e . - Somando:
Logo, para
temos
. Isso é uma função linear com coeficiente angular (inclinação)
— ou seja, quando
aumenta nessa região
diminui.
Intervalo 2:
.
- Aqui
e . Então e . - Somando:
Logo, para
temos
. É constante nessa faixa (inclinação
).
Intervalo 3:
.
- Aqui
e . Então e . - Somando:
Logo, para
temos
. É uma reta com inclinação
— cresce quando
cresce.
Passo 5
Verificar continuidade e valores nos pontos de junção
e
.
Calcular
usando a fórmula do intervalo 2 (pois
está em
):
Calcular
usando intervalo 2 ou 3 (0 pertence a
):
Agora checar limites laterais:
- Limite à direita em
usando expressão de que está em dá . Limite à esquerda em usando expressão de : substituindo em dá . Então a função é contínua em . - Em
: limite à esquerda (intervalo ) é . Limite à direita (intervalo ) ao substituir em dá . Logo é contínua em .
Portantoé contínua em toda a reta (já esperado por soma de módulos).
Passo 6
Determinar o comportamento das retas e alguns pontos úteis para esboçar o gráfico.
Usando as fórmulas já obtidas:
- Para
: . Em obtemos . Conforme , . Em o valor é . - Para
: . Segmento horizontal entre os pontos e . - Para
: . Em obtemos . Conforme , . Em o valor é .
Resumo de pontos-chave para desenhar:
-
e são extremos inferiores (parte plana) do gráfico. -
e mostram como o gráfico sobe das duas extremidades. - À esquerda de
a reta tem inclinação (decresce conforme aumenta até ), à direita de a reta tem inclinação (cresce para ), e entre e a função é constante .
Explicação geométrica (intuição útil para prova):
é a soma das distâncias de
até
e até
no eixo real. A soma das distâncias até dois pontos distintos numa reta é mínima quando
está entre esses dois pontos, e o mínimo é a distância entre esses pontos, que aqui é
. Isso explica por que
atinge o valor mínimo
para todo
.
Passo 7
Esboço do gráfico (instruções passo a passo para desenhar à mão):
- Desenhar eixos
horizontal e vertical. - Marcar os pontos
no eixo . - Marcar os pontos
, , e no plano. - Desenhar:
- Uma reta passando por
com inclinação estendendo-se para a esquerda (até em quando ). - Um segmento horizontal ligando
a . - Uma reta passando por
com inclinação estendendo-se para a direita (até em quando ).
- Uma reta passando por
- Verificar que as três peças se encontram em
e de forma contínua.
Esse esboço mostra um “vale” plano entre
e
e subidas com inclinações simétricas para os dois lados.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: