Dê o domínio, a imagem e faça um esboço dos gráficos das seguintes funções
h(x)=|x+1|+|x|

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função h: o domínio, a imagem (conjunto de valores possíveis de h(x)) e um esboço do gráfico. A função dada é
h(x)=|x+1|+|x|.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A expressão usa valores absolutos |x+1| e |x|.
  • Não há restrição explícita sobre x no enunciado (como divisão por zero ou radicais com índice par), portanto o domínio provavelmente será todo o conjunto dos números reais, mas isso vamos confirmar e justificar nos próximos passos.
  • Pontos onde as expressões internas dos valores absolutos mudam de sinal são x=-1 (pois x+1=0) e x=0 (pois x=0). Esses pontos quebram a reta real em três intervalos naturais para analisar: (-\infty,-1), [-1,0] e (0,\infty).

Passo 2

Rápida aula sobre valor absoluto (para usar passo a passo): o valor absoluto de um número real t\), denotado \(|t|\), é definido por \[|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Isto significa que, para cada expressão dentro de um módulo, devemos checar o sinal dessa expressão e reescrever |\cdot|\] como a expressão própria (se não for negativa) ou o seu negativo (se for negativa). Aplicando isso em funções com somas de módulos, normalmente dividimos a reta nos pontos onde cada expressão interna é zero (aqui \(x=-1 e x=0) e tratamos cada intervalo separadamente.]

Passo 3

Determinar o domínio: valores de x onde a expressão h(x) está definida. Cada módulo |x+1| e |x| está definido para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais. Em notação:
\text{Domínio} = \mathbb{R}.í

Passo 4

Analisar a função em cada intervalo determinado por x=-1 e x=0.
Intervalo 1: x<-1.
  • Aqui x+1<0 e x<0. Então |x+1|=-(x+1)=-x-1 e |x|=-x.
  • Somando:
h(x)=(-x-1)+(-x)=-2x-1.
Logo, para x<-1 temos h(x)=-2x-1. Isso é uma função linear com coeficiente angular (inclinação) -2 — ou seja, quando x aumenta nessa região h(x) diminui.
Intervalo 2: -1\le x\le 0.
  • Aqui x+1\ge0 e x\le0. Então |x+1|=x+1 e |x|=-x.
  • Somando:
h(x)=(x+1)+(-x)=1.
Logo, para -1\le x\le 0 temos h(x)=1. É constante nessa faixa (inclinação 0).
Intervalo 3: x>0.
  • Aqui x+1>0 e x>0. Então |x+1|=x+1 e |x|=x.
  • Somando:
h(x)=(x+1)+x=2x+1.
Logo, para x>0 temos h(x)=2x+1. É uma reta com inclinação 2 — cresce quando x cresce.

Passo 5

Verificar continuidade e valores nos pontos de junção x=-1 e x=0.
Calcular h(-1) usando a fórmula do intervalo 2 (pois -1 está em [-1,0]):
h(-1)=1.
Calcular h(0) usando intervalo 2 ou 3 (0 pertence a [-1,0]):
h(0)=1.
Agora checar limites laterais:
  • Limite à direita em -1 usando expressão de x>-1 que está em [-1,0] 1. Limite à esquerda em -1 usando expressão de x<-1: substituindo x=-1 em -2x-1 -2(-1)-1=1. Então a função é contínua em x=-1.
  • Em x=0: limite à esquerda (intervalo [-1,0]) é 1. Limite à direita (intervalo x>0) ao substituir x=0 em 2x+1 1. Logo é contínua em x=0.
    Portanto h é contínua em toda a reta (já esperado por soma de módulos).

Passo 6

Determinar o comportamento das retas e alguns pontos úteis para esboçar o gráfico.
Usando as fórmulas já obtidas:
  • Para x<-1: h(x)=-2x-1. Em x=-2 obtemos h(-2)=-2(-2)-1=4-1=3. Conforme x\to -\infty, -2x-1\to +\infty. Em x=-1 o valor é 1.
  • Para -1\le x\le 0: h(x)=1. Segmento horizontal entre os pontos (-1,1) e (0,1).
  • Para x>0: h(x)=2x+1. Em x=1 obtemos h(1)=2\cdot1+1=3. Conforme x\to +\infty, 2x+1\to +\infty. Em x=0 o valor é 1.
Resumo de pontos-chave para desenhar:
  • (-1,1) e (0,1) são extremos inferiores (parte plana) do gráfico.
  • (-2,3) e (1,3) mostram como o gráfico sobe das duas extremidades.
  • À esquerda de -1 a reta tem inclinação -2 (decresce conforme x aumenta até -1), à direita de 0 a reta tem inclinação 2 (cresce para +\infty), e entre -1 e 0 a função é constante 1.
Explicação geométrica (intuição útil para prova): h(x) é a soma das distâncias de x até -1 e até 0 no eixo real. A soma das distâncias até dois pontos distintos numa reta é mínima quando x está entre esses dois pontos, e o mínimo é a distância entre esses pontos, que aqui é 1. Isso explica por que h(x) atinge o valor mínimo 1 para todo x\in[-1,0].

Passo 7

Esboço do gráfico (instruções passo a passo para desenhar à mão):
  1. Desenhar eixos x horizontal e y vertical.
  2. Marcar os pontos x=-2,-1,0,1 no eixo x.
  3. Marcar os pontos (-2,3), (-1,1), (0,1) e (1,3) no plano.
  4. Desenhar:
    • Uma reta passando por (-1,1) com inclinação -2 estendendo-se para a esquerda (até +\infty em y quando x\to -\infty).
    • Um segmento horizontal ligando (-1,1) a (0,1).
    • Uma reta passando por (0,1) com inclinação 2 estendendo-se para a direita (até +\infty em y quando x\to +\infty).
  5. Verificar que as três peças se encontram em (-1,1) e (0,1) de forma contínua.
Esse esboço mostra um “vale” plano entre -1 e 0 e subidas com inclinações simétricas para os dois lados.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [1,\infty)

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